周练卷(六)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝5x2在[2,6]内的平均变化率为( )
A．10
B．20
C．40
D．60
2．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第3秒的瞬时速度是( )
A．1米/秒
B．－1米/秒
C．2米/秒
D．－2米/秒
3．下列求导运算中正确的是( )
A.′＝1＋
B．(lgx)′＝
C．(lnx)′＝x
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
4．函数f(x)＝xsinx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝( )
A.
B．e
C．－
D．－e
6．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝ln
x
C．y＝ex
D．y＝x3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．已知函数f(x)＝－x2在点P处的切线的斜率为－2，则点P的坐标为________．
8．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
＝________.
9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
10．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝(＋1)；
(3)y＝x－sincos；
(4)y＝3lnx＋ax(a>0，且a≠1)．
答案
1．C 本题主要考查平均变化率的概念．平均变化率为＝＝40，故选C.
2．B 本题考查运用导数的概念计算函数的导数．由＝＝＝－1，得s′|t＝3＝
＝
(－1)＝－1，故选B.
3．B 本题考查基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.′＝1－，故A错；(lnx)′＝，故C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错．故选B.
4．C 本题主要考查三角函数的导数公式及三角函数的性质等知识．∵f(x)＝xsinx，∴f′(x)＝sinx＋xcosx，∴f′(－x)＝－sinx－xcosx＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.
5．C 本题主要考查基本初等函数的导数公式及方程思想．由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－，故选C.
6．A 设函数y＝f(x)的图象上两点为P(x1,
y1)，Q(x2,
y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1),
k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cosx，显然k1·k2＝cosx1·cosx2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x>0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A
7．(1，－1)
解析：f′(x0)＝－2x0＝－2，x0＝1，y0＝－1.∴P的坐标为(1，－1)．
8．－2
解析：本题考查导数的概念及导数的几何意义．由导数的概念和几何意义，知
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
9．－3
解析：本题主要考查导数的几何意义．由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋ (1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－ (2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
10．y＝2x
解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
11．解：(1)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)＝·－＋－1＝－＋，
∴y′＝′＝－＋
＝－.
(3)y′＝′＝′
＝1－cosx.
(4)y′＝(3lnx＋ax)′＝＋axlna(a>0，且a≠1)．
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12.(15分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
13．(20分)如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值．
答案
12.解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以所求的切线方程是y＝－2.
(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，即f′(x)＝＝，
当a≥1，x∈[1，e]时，2x－1>0，ax－1≥0，可得f′(x)≥0.
13．解：设切点P(x0，y0)．
由直线l与曲线f(x)相切于点P，得切线l的斜率为f′(x0)＝4x0.
由直线l与曲线g(x)相切于点P，得切线l的斜率为g′(x0)＝.
由f′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝，解得x0＝，∴y0＝＝，即点P的坐标为.
由点P在曲线f(x)上，得2×2＋a＝，解得a＝.周练卷(六)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝5x2在[2,6]内的平均变化率为( )
A．10
B．20
C．40
D．60
2．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第3秒的瞬时速度是( )
A．1米/秒
B．－1米/秒
C．2米/秒
D．－2米/秒
3．下列求导运算中正确的是( )
A.′＝1＋
B．(lgx)′＝
C．(lnx)′＝x
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
4．函数f(x)＝xsinx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝( )
A.
B．e
C．－
D．－e
6．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝ln
x
C．y＝ex
D．y＝x3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．已知函数f(x)＝－x2在点P处的切线的斜率为－2，则点P的坐标为________．
8．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
＝________.
9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
10．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝(＋1)；
(3)y＝x－sincos；
(4)y＝3lnx＋ax(a>0，且a≠1)．
12.(15分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
13．(20分)如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值．
