周练卷(七)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
2．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x>0时，f′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0
B．f′(x)<0
C．f′(x)＝0
D．无法确定
3．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值是( )
A．－2a＋c
B．－4a＋c
C．－3a
D．c
4．函数f(x)＝＋sinx的图象大致是( )
5．对于在R上可导的函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则下列说法错误的是( )
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．x＝1时，f(x)取得极小值
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
6．方程－lnx－2＝0的根的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7.
如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数y＝f(x)的单调递增区间为________．
8．函数f(x)＝ex(x2－4x＋3)在[0,
1]上的最小值是________．
9．设a∈R，若函数y＝x3＋ax2＋1(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为________．
10．给出下列四个命题：
①若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点；
②“可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a，b)上有极值”；
③若f(x)>g(x)，则f′(x)>g′(x)；
④如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能取得最大值和最小值．
其中真命题的序号是________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知x＝4是函数f(x)＝alnx＋x2－12x＋11的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
答案
1．C 由题意，易知x>0，因为f′(x)＝2x－2－＝，由f′(x)>0，可得x2－x－2>0，解得x>2，故选C.
2．B 因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又x>0时，f′(x)>0，故当x>0时，f(x)为增函数，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x<0时，f(x)为减函数，故选B.
3．B 由导函数f′(x)的图象，知当00；当x>2时，f′(x)<0；当x＝2时，f′(x)＝0.又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f(x)的极大值为f(2)＝－4a＋c，故选B.
4．C 显然函数f(x)为奇函数，排除B.又f′(x)＝＋cosx，可知f′(x)有无数个零点，因此函数f(x)有无数个极值点，排除A.又当x是一个比较小的正数时，f(x)＝＋sinx>0，排除D.故选C.
5．A 当x≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数；当x<1时，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故说法A错误，说法B正确；当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，说法C正确；f(1)为函数的最小值，故有f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，得f(0)＋f(2)≥2f(1)，说法D正确．故选A.
6．C 令f(x)＝－lnx－2，则由f′(x)＝－＝0，得x＝4.当04时，f′(x)>0.∴x＝4是f(x)的唯一极小值点，且f(4)<0.又f(e－2)>0，f(e4)＝e2－6>0，∴f(x)在(e－2,4)，(4，e4)上各有一个零点，∴对应的方程有2个根．故选C.
7．(－1,2)和(4,5]
解析：注意给定的是y＝f′(x)的图象，∵在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．
8．0
解析：f′(x)＝ex(x2－4x＋3)＋ex(2x－4)
＝ex(x2－2x－1)＝ex[(x－1)2－2]，
当x∈[0,
1]时，f′(x)<0，f(x)在[0,
1]上是减函数，f(x)min＝f(1)＝0.
9．(－∞，0)
解析：y′＝3x2＋2ax，若函数在R上有大于0的极值点，即3x2＋2ax＝0有正根，显然有a<0.
10．②④
解析：显然②④是真命题；对f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故①是假命题；f(x)＝x＋1>g(x)＝x，但f′(x)＝g′(x)＝1，故③是假命题．
11．解：(1)f′(x)＝＋2x－12.
∵x＝4是函数f(x)＝alnx＋x2－12x＋11的一个极值点，∴f′(4)＝＋2×4－12＝0，∴a＝16.
(2)由(1)，知f(x)＝16lnx＋x2－12x＋11(x>0)，f′(x)＝＋2x－12＝＝，由>0，得04.
∴当x∈(0,2)或x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递增．
由<0，得2∴当x∈(2,4)时，f(x)单调递减．
∴f(x)的单调递增区间是(0,2)和(4，＋∞)，单调递减区间是(2,4)．
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12.(15分)已知函数f(x)＝(x∈R)，其中a>0.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间及在[－1，＋∞)上的最大值．
13．(20分)已知函数f(x)＝ex＋ax－1.求证：当x>0且a>－1时，f(x)>f(－x)．
答案
12.解：(1)当a＝1时，f(x)＝，f(1)＝1.又f′(x)＝
＝，∴f′(1)＝0.∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝0，即y＝1.
(2)f′(x)＝
＝.
由于a>0，令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
∴f(x)在区间，(a，＋∞)上为减函数，在区间上为增函数．
∴函数f(x)在x＝a处取得极大值，且f(a)＝1.
∵f(－1)＝，且
f(－1)－f(a)＝－1
＝<0，
∴f(x)在[－1，＋∞)上的最大值为1.
13．证明：令h(x)＝f(x)－f(－x)＝ex－＋2ax(x≥0)，则h′(x)＝ex＋＋2a，
因为ex＋＋2a≥2＋2a＝2＋2a，当且仅当x＝0时等号成立．
当a>－1时，2＋2a>0，所以h′(x)＝ex＋＋2a>0，所以h(x)＝ex－＋2ax在区间(0，＋∞)上是增函数．
又h(0)＝0，故当x>0时，h(x)＝f(x)－f(－x)>0，
即当x>0且a>－1时，f(x)>f(－x)．周练卷(七)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
2．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x>0时，f′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0
B．f′(x)<0
C．f′(x)＝0
D．无法确定
3．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值是( )
A．－2a＋c
B．－4a＋c
C．－3a
D．c
4．函数f(x)＝＋sinx的图象大致是( )
5．对于在R上可导的函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则下列说法错误的是( )
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．x＝1时，f(x)取得极小值
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
6．方程－lnx－2＝0的根的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7.
如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数y＝f(x)的单调递增区间为________．
8．函数f(x)＝ex(x2－4x＋3)在[0,
1]上的最小值是________．
9．设a∈R，若函数y＝x3＋ax2＋1(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为________．
10．给出下列四个命题：
①若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点；
②“可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a，b)上有极值”；
③若f(x)>g(x)，则f′(x)>g′(x)；
④如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能取得最大值和最小值．
其中真命题的序号是________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知x＝4是函数f(x)＝alnx＋x2－12x＋11的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
12.(15分)已知函数f(x)＝(x∈R)，其中a>0.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间及在[－1，＋∞)上的最大值．
13．(20分)已知函数f(x)＝ex＋ax－1.求证：当x>0且a>－1时，f(x)>f(－x)．
