选修1—1综合评估
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．“三个数a，b，c不都为0”的否定为( )
A．a，b，c都不是0
B．a，b，c至多有一个为0
C．a，b，c至少一个为0
D．a，b，c都为0
2．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真
B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假
D．“綈q”为真
3．已知a，b为实数，则2a>2b是log2a>log2b的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪{1}
B．(－∞，－2]∪[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[－2,1]
5．双曲线－＝1(b>0)的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则b的值为( )
A．2
B．4
C．3
D．9
6．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于M，N两点，线段MN中点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
7．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
8．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A.
B．2
C.
D．3
9．对于R上可导的任意函数f(x)，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则( )
A．a
B．cC．cD．b10．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )
A.
B.－1
C.－2
D.－4
11．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A.
B.
C.
D．1
12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝x3－mx2＋x在(－1,2)上是“凸函数”．则f(x)在(－1,2)上( )
A．既有极大值，也有极小值
B．没有极大值，有最小值
C．有极大值，没有极小值
D．既没有极大值，也没有极小值
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．设f(x)＝xsinx，则f′的值为________．
14．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．
答案
1．D “不都”的否定为“都”．
2．A p假q真．
3．A 2a>2b?a>b，当a<0或b<0时，不能得到log2a>log2b.
4．A “p∧q”为真，得p，q为真，∴a≤(x2)min＝1；Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.故a的取值范围为(－∞，－2]∪{1}．
5．C 易求得b＝3.
6．B 设M(x1，y1)，N(x2，y2)由方程组
得2y2－27y－72＝0.所以y1＋y2＝，＝，代入方程2x－3y－8＝0中，得＝.
7．C f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由Δ>0，得a<－1或a>2.
8．B 由tan＝＝.有3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则e＝＝2，故选B.
9．B 由当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，知f(x)在(－∞，1)上为增函数．又由f(x)＝f(2－x)得c＝f(3)＝f(－1)，所以c10．B 设抛物线y2＝4x的焦点为F，则由抛物线的定义可得d＝|PF|－1.连接AF，则AF与抛物线的交点即为使|PA|＋d取最小值时P的位置，所以(|PA|＋d)min＝|AF|－1＝－1.
11．D ∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝.又a>，∴0<<2.当f′(x)>0时，x<，f(x)在上递增；当f′(x)<0时，x>，f(x)在上递减．∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，∴ln＝0，得a＝1.
12．C 由题意得f′(x)＝x2－mx＋1，f″(x)＝x－m<0对于x∈(－1,2)恒成立，∴m≥2.而m≤2，∴m＝2.于是f′(x)＝x2－2x＋1，由f′(x)＝0得x＝2－或x＝2＋(舍去)，f(x)在(－1,2－)上递增，在(2－，2)上递减，只有C正确．
13．－1
解析：f′(x)＝sinx＋xcosx，∴f′＝－1.
14.
解析：设P(x0，y0)，y′＝2x－1，∴－1≤2x0－1≤3?0≤x0≤2，有y0＝2＋∈.
————————————————————————————
15.已知F1，F2为椭圆的焦点，等边三角形AF1F2两边的中点M，N在椭圆上，如图，则椭圆的离心率为________．
16．已知函数f(x)＝ax－x4，x∈，A，B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)．
(1)求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P，F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为P′，F1′，F2′，求以F1′，F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．
18．(12分)命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p，q至少有一个是真命题；
(2)p∨q是真命题且p∧q是假命题．
答案
15.－1
解析：连接MF2，则等边三角形AF1F2中，|MF1|＝
|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|＝c，由定义知
|MF1|＋|MF2|＝2a，即c＋c＝2a，解得＝－1.
16.
解析：f′(x)＝a－4x3，由题意知：≤a－4x3≤4恒成立，又x∈，则≤4x3≤4，得a＝.
17．解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其半焦距c＝6,2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝6，所以a＝3，b2＝a2－c2＝45－36＝9，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)关于直线y＝x的对称点分别为P′(2,5)、F1′(0，－6)、F2′(0,6)．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a1>0，b1>0)，由题意知半焦距c1＝6,2a1＝||P′F1′|－|P′F2′||
＝|－|＝4，所以a1＝2，b＝c－a＝36－20＝16，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
18．解：p命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>，或a<－1. ①
q命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－. ②
(1)p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围是.
(2)p∨q是真命题且p∧q是假命题，有两种情况：
p真q假时，故p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的取值范围为.
————————————————————————————
19.(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，d∈R)，满足f(0)＝0，f′(1)＝0且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.
20．(12分)某工厂有一段旧墙长14
m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126
m2的厂房，工程条件是：
①建1
m新墙的费用为a元；②修1
m旧墙的费用为元；③拆去1
m的旧墙，用所得的建材建1
m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：
(1)利用旧墙一段x
m(0(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.
问：如何利用旧墙可使建墙费用最省？试比较(1)(2)两种方案哪个更好．
答案
19．解：(1)f′(x)＝ax2－x＋c，
∵f(0)＝0，f′(1)＝0，
∴即
从而f′(x)＝ax2－x＋－a.
∵f′(x)≥0在R上恒成立，
∴即
解得a＝，c＝，d＝0.
(2)由(1)知，f′(x)＝x2－x＋，
∵h(x)＝x2－bx＋－，
∴不等式f′(x)＋h(x)<0即为x2－x＋＋x2－bx＋－<0，即x2－x＋<0，
∴(x－b)<0，
①若b>，则所求不等式的解集为；
②若b＝，则所求不等式的解集为空集；
③若b<，则所求不等式的解集为.
综上所述，当b>时，所求不等式的解集为；当b＝时，所求不等式的解集为?；当b<时，所求不等式的解集为.
20．解：方案(1)：修旧墙费用为x·元，折旧墙造新墙费用为(14－x)·元，其余新墙费用：2x＋－14a元．∴总费用y＝7a(0∴y＝7a2＋35a≥35a，
当x＝12时，ymin＝35a.
方案(2)：利用旧墙费用为14·＝元，建新墙费用为a元．
总费用为：y＝2a－a(x≥14)．
设f(x)＝x＋(x≥14)，
则f′(x)＝1－＝，
当x≥14时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
∴f(x)min＝f(14)＝35.5a.
由35a<35.5a知，采用方案(1)更好些．
————————————————————————————
21.(12分)已知F1，F2分别为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2＝4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|＝.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)已知点P(1,3)和圆O：x2＋y2＝b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：＝－λ，＝λ，(λ≠0且λ≠±1)求证：点Q总在某定直线上．
22．(12分)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
答案
21.(1)解：由C2：x2＝4y知F1(0,1)，设M(x0，y0)
(x0<0)，因M在抛物线C2上，故x＝4y0 ①.
又|MF1|＝，则y0＋1＝ ②，
由①②解得x0＝－，y0＝.
而点M在椭圆上，故有＋＝1，
即＋＝1 ③.
又c＝1，则b2＝a2－1 ④.
由③④可解得a2＝4，b2＝3a2＝，b2＝－舍去，∴椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，
由＝－λ可得：
(1－x1,3－y1)＝－λ(x2－1，y2－3)，
即
由＝λ可得：(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即
⑤×⑦得：x－λ2x＝(1－λ2)x，
⑥×⑧得：y－λ2y＝3y(1－λ2)．
两式相加得(x＋y)－λ2(x＋y)＝(1－λ2)(x＋3y)．
又点A，B在圆x2＋y2＝3上，且λ≠±1，
所以x＋y＝3，x＋y＝3，
即x＋3y＝3，所以点Q总在定直线x＋3y＝3上．
22．解：(1)f′(x)＝－a＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)因为函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1，所以f′(2)＝－＝1，解得a＝－2，
所以f(x)＝－2lnx＋2x－3，所以g(x)＝x3＋x2＝x3＋x2－2x，
所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
令g′(x)＝0，即3x2＋(m＋4)x－2＝0，
因为Δ＝(m＋4)2＋24>0，
所以方程g′(x)＝0有两个实根且两根一正一负，即有且只有一个正根．
因为函数y＝g(x)在(t,3)(其中t∈[1,2])上总不是单调函数，所以方程g′(x)＝0在x∈(t,3)上有且只有一个实数根．
又因为g′(0)＝－2<0，所以g′(t)<0，g′(3)>0，
所以m>－，且(m＋4)t<2－3t2.
因为t∈[1,2]，所以m＋4<－3t.
令h(t)＝－3t，则h′(t)＝－－3<0，
即h(t)在t∈[1,2]上单调递减，
所以m＋4所以－综上可得，m的取值范围为.选修1—1综合评估
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．“三个数a，b，c不都为0”的否定为( )
A．a，b，c都不是0
B．a，b，c至多有一个为0
C．a，b，c至少一个为0
D．a，b，c都为0
2．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真
B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假
D．“綈q”为真
3．已知a，b为实数，则2a>2b是log2a>log2b的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪{1}
B．(－∞，－2]∪[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[－2,1]
5．双曲线－＝1(b>0)的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则b的值为( )
A．2
B．4
C．3
D．9
6．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于M，N两点，线段MN中点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
7．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
8．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A.
B．2
C.
D．3
9．对于R上可导的任意函数f(x)，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则( )
A．aB．cC．cD．b10．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )
A.
B.－1
C.－2
D.－4
11．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A.
B.
C.
D．1
12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝x3－mx2＋x在(－1,2)上是“凸函数”．则f(x)在(－1,2)上( )
A．既有极大值，也有极小值
B．没有极大值，有最小值
C．有极大值，没有极小值
D．既没有极大值，也没有极小值
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．设f(x)＝xsinx，则f′的值为________．
14．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．
15.已知F1，F2为椭圆的焦点，等边三角形AF1F2两边的中点M，N在椭圆上，如图，则椭圆的离心率为________．
16．已知函数f(x)＝ax－x4，x∈，A，B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)．
(1)求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P，F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为P′，F1′，F2′，求以F1′，F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．
18．(12分)命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p，q至少有一个是真命题；
(2)p∨q是真命题且p∧q是假命题．
19.(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，d∈R)，满足f(0)＝0，f′(1)＝0且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.
20．(12分)某工厂有一段旧墙长14
m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126
m2的厂房，工程条件是：
①建1
m新墙的费用为a元；②修1
m旧墙的费用为元；③拆去1
m的旧墙，用所得的建材建1
m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：
(1)利用旧墙一段x
m(0(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.
问：如何利用旧墙可使建墙费用最省？试比较(1)(2)两种方案哪个更好．
21.(12分)已知F1，F2分别为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2＝4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|＝.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)已知点P(1,3)和圆O：x2＋y2＝b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：＝－λ，＝λ，(λ≠0且λ≠±1)求证：点Q总在某定直线上．
22．(12分)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．