2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一上学期期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，则A∪B＝（　　）
A．{3} B．{0，1，3，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}
2．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f（x）＝的定义域是为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
4．函数y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知命题p：“?x0＞0，x0+t﹣1＝0”，若p为真命题，则实数t的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
6．若不等式＜0和不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a、b的值为（　　）
A．a＝﹣8，b＝﹣10 B．a＝﹣4，b＝﹣9 C．a＝﹣1，b＝9 D．a＝﹣1，b＝2
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞b
C．若＜，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
8．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）是偶函数，f（4）＝2，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，则不等式f（4x﹣1）＞2的解集为（　　）
A． B．∪
C． D．
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知函数f（x）是一次函数，满足f（f（x））＝9x+8，则f（x）的解析式可能为（　　）
A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝﹣3x+4 D．f（x）＝﹣3x﹣4
10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．﹣＝ B．＝
C．＝（x≠0） D．＝（x＞0）
11．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（　　）
A．f（x）＝x2
B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣
D．f（x）＝
12．若a＞0，b＞0，则下列结论正确的有（　　）
A． B．若，则a+b≥
C．若ab+b2＝2，则a+3b≥4 D．若a＞b＞0，则
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.
13．集合A＝{a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，则a＝　 　．
14．已知9a＝3，lnx＝a，则x＝　 　．
15．已知x1，x2是函数f（x）＝x2﹣（2k+1）x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是　 　．
16．已知正实数a、b满足a+b＝1，则：
（1）ab的最大值是　 　；
（2）的最小值是　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|﹣m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若m＝2，求A∩（?RB）；
（2）若A∩B＝?，求m的取值范围．
18．（12分）（1）计算：+80.25×+﹣；
（2）lg﹣lg+lg12.5﹣log89?log278．
19．（12分）已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，
（1）若a＝2，求集合B；
（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若f（x）定义域为（﹣1，1），解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．
21．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
22．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，且f（2）＝15．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）令g（x）＝（1﹣2m）x﹣f（x），
①若函数g（x）在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m的取值范围
②求函数g（x）在区间[0，2]的最小值．
参考答案
一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求．
1．设集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，则A∪B＝（　　）
A．{3} B．{0，1，3，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}
解：∵A＝{0，1，3}，B＝{2，3，4}，
∴A∪B＝{0，1，2，3，4}，
故选：D．
2．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
3．函数f（x）＝的定义域是为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
解：要使原函数有意义，则，解得：x＜0且x≠﹣1．
∴函数f（x）＝的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．
故选：C．
4．函数y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
5．已知命题p：“?x0＞0，x0+t﹣1＝0”，若p为真命题，则实数t的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
解：命题p：“?x0＞0，x0+t﹣1＝0”，若p为真命题，
所以t＜1﹣x0，即t＜1．
故选：B．
6．若不等式＜0和不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a、b的值为（　　）
A．a＝﹣8，b＝﹣10 B．a＝﹣4，b＝﹣9 C．a＝﹣1，b＝9 D．a＝﹣1，b＝2
解：不等式＜0等价于（4x+1）（x+2）＜0，
解得：，
∵解集相同，
∴不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为，
由方程与不等式的关系可知：ax2+bx﹣2＝0的根为：，
由韦达定理：，解得：a＝﹣4，b＝﹣9，
故选：B．
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞b
C．若＜，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
解：令a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，d＝﹣5，显然A、D不成立，
对于B：若c＜0，显然不成立，
对于C：由c2＞0，得：a＜b，故C正确，
故选：C．
8．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）是偶函数，f（4）＝2，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，则不等式f（4x﹣1）＞2的解集为（　　）
A． B．∪
C． D．
解：因为f（x）是偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（4）＝2，
所以不等式f（4x﹣1）＞2?f（4x﹣1）＞f（4）?f（|4x﹣1|）＞f（4）?|4x﹣1|＜4，
解得﹣＜x＜．
故选：A．
二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.每题有多项符合题目要求，部分选对得3分，选错得0分．
9．已知函数f（x）是一次函数，满足f（f（x））＝9x+8，则f（x）的解析式可能为（　　）
A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝﹣3x+4 D．f（x）＝﹣3x﹣4
解：设f（x）＝kx+b（k≠0），
∵f（f（x））＝9x+8，
∴f（f（x））＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b＝9x+8，
∴，解得或，
∴f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣4，
故选：AD．
10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．﹣＝ B．＝
C．＝（x≠0） D．＝（x＞0）
解：对于A：﹣＝﹣，故A错误；
对于B：＝﹣，故B错误；
对于C：＝，故C正确；
对于D：原式＝＝，故D正确；
故选：CD．
11．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（　　）
A．f（x）＝x2
B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣
D．f（x）＝
解：根据题意，若f（x）满足对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，
若对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则f（x）在其定义域上为减函数，
若函数f（x）为“理想函数”，则f（x）在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，
依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2，为偶函数，不是奇函数，不符合题意，
对于B，f（x）＝﹣x3，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，
对于C，f（x）＝x﹣，在其定义域上不是减函数，不符合题意，
对于D，f（x）＝，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，
故选：BD．
12．若a＞0，b＞0，则下列结论正确的有（　　）
A． B．若，则a+b≥
C．若ab+b2＝2，则a+3b≥4 D．若a＞b＞0，则
解：对于A，因为a＞0，b＞0，a2+b2≥2ab，所以2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，
所以≥1，即≥，所以A错误；
对于B，a+b＝（a+b）（+）＝（1+++4）≥（5+2）＝，
当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立，所以B正确；
对于C，因为ab+b2＝2，所以a＝，所以a+3b＝+3b＝2（b+）≥2×2＝4，
当且仅当b＝，即b＝1时，等号成立，所以C正确；
对于D，若a＞b＞0，则＞，所以a+＞b+，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.
13．集合A＝{a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，则a＝　　．
解：集合A＝{a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，
所以a﹣2＝﹣3，或2a2+5a＝﹣3，
解得a＝﹣1或a＝，
当a＝﹣1时a﹣2＝2a2+5a＝﹣3，
所以a＝．
故答案为：．
14．已知9a＝3，lnx＝a，则x＝　　．
解：由9a＝3，
∴32a＝3，
∴2a＝1，
∴a＝，
∴lnx＝＝ln，
∴x＝
故答案为：
15．已知x1，x2是函数f（x）＝x2﹣（2k+1）x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是　（0，2）　．
解：函数f（x）＝x2﹣（2k+1）x+k2的图象是开口向上的抛物线，
若函数f（x）＝x2﹣（2k+1）x+k2有两个零点且一个大于1，一个小于1，
则f（1）＝1﹣（2k+1）+k2＜0，即k2﹣2k＜0，得0＜k＜2．
∴实数k的取值范围是（0，2），
故答案为：（0，2）．
16．已知正实数a、b满足a+b＝1，则：
（1）ab的最大值是　　；
（2）的最小值是　　．
解：（1）∵正实数a、b满足a+b＝1
∴ab≤（）2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，
故ab的最大值是
（2）∵a+b＝1，
∴a+2+b+2＝5，
∴＝（a+2+b+2）（）＝（2++）≥（2+2）＝，当且仅当a+2＝b+2，即a＝b＝时取等号，
故的最小值是，
故答案为：，．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|﹣m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若m＝2，求A∩（?RB）；
（2）若A∩B＝?，求m的取值范围．
解：（1）当m＝2时，B＝{x|﹣m+1≤x≤2m﹣1}＝{x|﹣1≤x≤3}，
A＝{x|2≤x≤4}，?RB＝{x|x＞3或x＜﹣1}，
A∩（?RB）＝{x|3＜x≤4}；
（2）A∩B＝?，
当B＝?时，2m﹣1＜1﹣m，可得m＜；
当B≠?时，则2m﹣1≥1﹣m且1﹣m＞4，
或2m﹣1≥1﹣m且2m﹣1＜2，
解得m∈?或≤m＜，
综上所述，m的取值范围是（﹣∞，）．
18．（12分）（1）计算：+80.25×+﹣；
（2）lg﹣lg+lg12.5﹣log89?log278．
解：（1）+80.25×+﹣
＝
＝2+108
＝110；
（2）lg﹣lg+lg12.5﹣log89?log278
＝﹣lg2﹣lg5+lg8+lg12.5﹣
＝﹣1+lg（8×12.5）﹣
＝﹣1+lg100﹣
＝﹣1+2﹣
＝；
19．（12分）已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，
（1）若a＝2，求集合B；
（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，x2﹣6x+8≤0，即（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得2≤x≤4，故B＝[2，4]；
（2）p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝[2，3]，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0}＝[a，a2]，
如果q是p的必要条件，
则A?B，
∴，解得≤a≤2，
故a的取值范围为[，2]．
20．（12分）已知函数．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若f（x）定义域为（﹣1，1），解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．
解：（1）函数为奇函数．
证明如下：
∵定义域为R
又，
∴为奇函数
（2）函数在（﹣1，1）为单调递增函数．
证明如下：
任取﹣1＜x1＜x2＜1，
则
＝，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＜0，
∴
即f（x1）＜f（x2）
故在（﹣1，1）上为增函数．
（3）由（1）、（2）可得f（2x﹣1）+f（x）＜0，
∴f（x）＜﹣f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），
∴，解得：，
∴原不等式的解集为{x|0＜x＜}．
21．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8﹣）x≥25×8，
整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，
等价于x＞25时，a≥+x+有解．
由于+x≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，且f（2）＝15．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）令g（x）＝（1﹣2m）x﹣f（x），
①若函数g（x）在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m的取值范围
②求函数g（x）在区间[0，2]的最小值．
解：由已知令f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；
（1）f（x+1）﹣f（x）＝2ax+b+a＝﹣2x+1，
∴2a＝﹣2，a+b＝1，
∴a＝﹣1，b＝2又f（2）＝15，
∴c＝15，
∴f（x）＝﹣x2+2x+15………………（3分）
（2）①g（x）＝（1﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣（2m+1）x﹣15其对称轴为，
∵在[0，2]上不单调，
∴，∴………（8分）
②当，g（x）min＝g（0）＝﹣15；
当，；
当，g（x）min＝g（2）＝﹣4m﹣13；………………（13分）
综上，……..（14分）