第13章全等三角形的性质和判定的综合运用-华东师大版八年级数学上册复习讲义（含答案）

全等三角形的性质和判定的综合运用
1、全等三角形的概念及其性质
（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形性质： （1）对应边相等 （2）对应角相等 （3）周长相等 （4）面积相等
特别提醒：找准两个全等三角形的对应边和对应角是证明三角形全等的关键，要学会找对应角、对应边。
例1.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？



例2. 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
全等三角形的五种判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）
false
例1、如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB
例2、（SSS）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
3806825224155A
B
E
C
D
A
B
E
C
D






例3、（AAS）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BF⊥CE于F．
（1）△AEC与△CFB全等吗？请说明理由；
（2）请说明BF，AE，EF之间的数量关系．
例4、（SAS）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,求证：△ABC≌△DEF．
例5、（ASA）.已知：如图, ACfalseBC于C , DEfalseAC于E , ADfalseAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E




例6、（HL）已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.











3、综合练习：
1、如图，已知点C是线段BD上一点，以BC、DC为一边在BD的同一侧作等边△ABC和等边△ECD，连接AD，BE相交于点F，AC和BE交于点M，AD，CE交于点N，（注：等边三角形的每一个内角都等于60°）
（1）求证：AD＝BE
（2）线段CM与CN相等吗？请证明你的结论．
（3）求∠BFD的度数．
2、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
3、小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
4、如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．
5、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
6、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F
A
E
B
M
C
F
7、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

全等三角形的性质和判定的综合运用
1、全等三角形的概念及其性质
（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形性质： （1）对应边相等 （2）对应角相等 （3）周长相等 （4）面积相等
特别提醒：找准两个全等三角形的对应边和对应角是证明三角形全等的关键，要学会找对应角、对应边。
例1.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？

解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，
∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴DB⊥AC．
例2. 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
解∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
全等三角形的五种判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）
false
例1、如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB
解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．
故选：C．
例2、（SSS）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
证明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
290893535560A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE

例3、（AAS）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BF⊥CE于F．
（1）△AEC与△CFB全等吗？请说明理由；
（2）请说明BF，AE，EF之间的数量关系．
解：（1）全等，理由如下：
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
又∵BF⊥CE于F，
∴∠CBF+∠BCF＝90°．
∴∠ACE＝∠CBF．
在△ACE与△CBF中，
∠E=∠BFC∠ACE=∠FBCAC=BC，
∴△ACE≌△CBF （AAS）；
（2）BF＝EF+AE，理由如下：
由（1）知：△AEC≌△CFB，
∴AE＝CF，EC＝BF，
又∵EC＝EF+CF，
∴EC＝EF+AE．
∴EC＝BF＝EF+AE，
∴BF＝EF+AE．
例4、（SAS）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC
∴BC=FE
∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
false，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
例5、（ASA）.已知：如图, ACfalseBC于C , DEfalseAC于E , ADfalseAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
解：∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
例6、（HL）已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.

证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴在Rt△ADE与Rt△CBF中

∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）
∴AE＝CF，DE＝BF
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE
在Rt△CDE与Rt△ABF中，

∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）
∴∠DCE＝∠BAF
∴AB∥DC.
3、综合练习：
1、如图，已知点C是线段BD上一点，以BC、DC为一边在BD的同一侧作等边△ABC和等边△ECD，连接AD，BE相交于点F，AC和BE交于点M，AD，CE交于点N，（注：等边三角形的每一个内角都等于60°）
（1）求证：AD＝BE
（2）线段CM与CN相等吗？请证明你的结论．
（3）求∠BFD的度数．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
同理：CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解；CM＝CN，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝60°
∴∠ACB＝∠ACE，
在△BCM和△ACN中，∠CBM=∠CANBC=AC∠BCM=∠ACN，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM＝CN；
（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠BFD＝∠BAF+∠ABE＝∠BAC+∠CAD+∠ABE＝∠BAC+∠CBE+∠ABE＝∠BAC+∠ABC＝60°+60°＝120°．
2、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
证明：（1）因为∠A=∠D=90°，所以△ABC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形. 理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DCB，
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形.
3、小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB是26米．
4、如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．
证明：（1）∵∠1＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠3+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，
∵∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠E，
在△ABC与△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴∠B＝∠D．
（2）由（1）可得△ABC≌△ADE．
5、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
6、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F
A
E
B
M
C
F
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
7、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）证明：连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）解：连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．