第13章等腰三角形-华东师大版八年级数学上册复习讲义（含答案）

等腰三角形
【知识梳理】
一、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底 的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；
(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
二、等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．
2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；
(2)________相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．
三、线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
四、角的平分线
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
五、含30°的直角三角形 直角三角形中30°所对的边是斜边的一半
板块一、等腰三角形的性质与判定
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
例2、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
例4、如右图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD； (2)△OAB是等腰三角形．
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板块二、等边三角形的性质与判定
如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，
AD交CE于H.
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD.
例2、已知：如右图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边
三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC为等边三角形．
板块三、线段的垂直平分线和角平分线
如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 ．
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例2、如右图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是(　　)
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
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例3、如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
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例4．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B； （2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
例5、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
板块四、含30°的直角三角形
例1、如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
求证：△OCD是等边三角形； （2）若EF=5，求线段OE的长.
例2、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．
等腰三角形
【知识梳理】
一、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底 的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；
(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
二、等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．
2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；
(2)________相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．
三、线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
四、角的平分线
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
五、含30°的直角三角形 直角三角形中30°所对的边是斜边的一半
板块一、等腰三角形的性质与判定
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
例2、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
解：AB=AC=BD，
∴∠B=∠C，∠2=∠3．
设∠2=x°=∠BAD，
∠B=∠C=180°-2x，
由三角形外角的性质得∠2=∠1+∠C，
即x=30°+（180°-2x）
解得x=70°，
则∠2=70°．
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.
∵ ，
∴
∴ AD＝CD
∵ ，
∴ △ABD≌△CFD
(2)∵△ABD≌△CFD
∴ BD＝FD.
∵ ∠FDB＝90°，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ BE⊥AC．
例4、如右图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD； (2)△OAB是等腰三角形．
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证明：（1）∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD??????
∴?∠D= ∠C=90°???
在Rt△ACB和Rt △BDA中，AB= BA，AC=BD ，??
∴△ACB≌△BDA（HL）????
∴BC=AD；
（2）由△ACB≌?△BDA 得∠C AB=∠D BA?????????????
?∴△OAB是等腰三角形
板块二、等边三角形的性质与判定
如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，
AD交CE于H.
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD.
（1）证明：和都是等边三角形
　　　∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°
　　　∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD
在△BCE和△ACD中
false
∴△BCE≌△ACD（SAS）
（2）由（1）知△BCE≌△ACD
则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中
false
∴△BCF≌△ACH（ASA）
∴CF=CH，
又∵∠FCH＝60°
∴△CHF是等边三角形
∴∠FHC＝∠HCD=60°，
∴FH∥BD
例2、已知：如右图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边
三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC为等边三角形．
证明：（1）∵BF=AC，AB=AE，
∴FA=EC，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE，
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）；
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC，
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，
△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠BCA=60°，同理可得∠BAC=60°，
∴△ABC中，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形。
板块三、线段的垂直平分线和角平分线
如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 30° ．
-85725097155
例2、如右图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是(　A　)
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
708025114935
例3、如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
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解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE=?∠CAB=（90°-∠B），
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠DAE=?∠CAB=?（90°-∠B）=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
例4．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B； （2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，
∴AF=DF，
∴∠4=∠DAF=∠2+∠3，
∵∠4=∠1+∠B，
∴∠3=∠B；
（2）∵EF是AD的中垂线，
∴OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∵∠4=∠DAF，
∴∠3=∠ODF，
∵∠3=∠B，
∴∠ODF=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠B+∠ODB=180°．
例5、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
板块四、含30°的直角三角形
例1、如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
求证：△OCD是等边三角形； （2）若EF=5，求线段OE的长.
解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，
∴DE=CE，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
false
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=10，
∴OE=2DE=20.
例2、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．
解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，
∴∠ABD＝90°－60°＝30°，
在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．
∴BH＝2EH＝4．
同理可得，CH＝2HD＝2，
∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．
CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．