第14章勾股定理-华东师大版八年级数学上册复习讲义教案（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第14章勾股定理-华东师大版八年级数学上册复习讲义教案（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 200.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-21 10:41:13 | ||
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文档简介
勾股定理
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?
(?8，15，17?)(9，12，15?)?
最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、经典例题：
1、利用勾股定理求线段的长
例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）已知＝2，＝3，求；
（2）已知，＝32，求、．
对应练习：如图，在false中，false，false于点false，false，false，求false，false的长．
2、利用勾股定理说明边的关系
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，
试说明．
3、利用勾股定理求面积
例3、如图，false中，false，以false、false为直径作半圆false和false，且false，则false的长为false false
A．16 B．8 C．4 D．2
对应练习：如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若false，false，false，false和false分别代表相应的正方形的面积，且false，false，false，false，则false等于false false
A．25 B．31 C．32 D．40
4、利用勾股定理解直角三角形折叠问题
例4、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边false，false，将纸片沿false折叠，直角边false恰好落在斜边上，且与false重合，求false的面积．
5、判断直角三角形
例5、在以线段false，false，false的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是false false
A．false，false，false B．false
C．false，false，false D．false，false，false
对应练习：）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．
6、最短距离问题
例6、如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
对应练习：如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的false处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，false的相对方向有一小虫false，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖false处的最短距离是false false
A．false厘米 B．10厘米 C．false厘米 D．8厘米
勾股定理
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?
(?8，15，17?)(9，12，15?)?
最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、经典例题：
1、利用勾股定理求线段的长
例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）已知＝2，＝3，求；
（2）已知，＝32，求、．
解：（1）∵ ∠C＝90°，＝2，＝3，
∴ ；
（2）设，．
∵ ∠C＝90°，＝32，
∴ ．
即．
解得＝8．
∴ ，．
对应练习：如图，在false中，false，false于点false，false，false，求false，false的长．
解：false，false，false，
false．
根据直角三角形的面积公式，得false．
在false中，false
2、利用勾股定理说明边的关系
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，
试说明．
解：∵MN⊥AB，所以，，
∴．
∵AM是中线，所以MC＝MB．
又∵∠C＝90°，∴在Rt△AMC中，，
∴．
3、利用勾股定理求面积
例3、如图，false中，false，以false、false为直径作半圆false和false，且false，则false的长为false false
A．16 B．8 C．4 D．2
解：由勾股定理得，false，
false，
解得，false，
则false，
解得，false，
故选：false．
对应练习：如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若false，false，false，false和false分别代表相应的正方形的面积，且false，false，false，false，则false等于false false
A．25 B．31 C．32 D．40
解：如图，由题意得：
false，
false，
false，
false．故选：false．
4、利用勾股定理解直角三角形折叠问题
例4、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．
∴x=（cm）．
答：DE的长为cm.
对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边false，false，将纸片沿false折叠，直角边false恰好落在斜边上，且与false重合，求false的面积．
解：false，false
false
false将纸片沿false折叠，直角边false恰好落在斜边上，且与false重合，
false，false
false
设false，
则在false中，false
解得false，
即false等于false
false的面积false
答：false的面积为false
5、判断直角三角形
例5、在以线段false，false，false的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是false false
A．false，false，false B．false
C．false，false，false D．false，false，false
解：false、false，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
false、设三角形三边为false，false，false，falsefalse，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
false、falsefalsefalsefalse，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
false、false，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：false．
对应练习：）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．
解：∵AD⊥BC，∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD=CD．
∵AC=2，
∴2AD2=AC2，即2AD2=8，解得AD=CD=2．
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=4，
∴BD===2，
∴BC=BD+CD=2+2，
∴S△ABC=BC?AD=（2+2）×2=2+2．
6、最短距离问题
例6、如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
解：如图②所示，由题意可得：
，
在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：
则AB＝15．
所以需要爬行的最短路程是15．
对应练习：如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的false处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，false的相对方向有一小虫false，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖false处的最短距离是false false
A．false厘米 B．10厘米 C．false厘米 D．8厘米
解：如图所示：最短路径为：false，将圆柱展开，
false，
最短路程为false．故选：false．
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?
(?8，15，17?)(9，12，15?)?
最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、经典例题：
1、利用勾股定理求线段的长
例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）已知＝2，＝3，求；
（2）已知，＝32，求、．
对应练习：如图，在false中，false，false于点false，false，false，求false，false的长．
2、利用勾股定理说明边的关系
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，
试说明．
3、利用勾股定理求面积
例3、如图，false中，false，以false、false为直径作半圆false和false，且false，则false的长为false false
A．16 B．8 C．4 D．2
对应练习：如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若false，false，false，false和false分别代表相应的正方形的面积，且false，false，false，false，则false等于false false
A．25 B．31 C．32 D．40
4、利用勾股定理解直角三角形折叠问题
例4、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边false，false，将纸片沿false折叠，直角边false恰好落在斜边上，且与false重合，求false的面积．
5、判断直角三角形
例5、在以线段false，false，false的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是false false
A．false，false，false B．false
C．false，false，false D．false，false，false
对应练习：）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．
6、最短距离问题
例6、如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
对应练习：如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的false处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，false的相对方向有一小虫false，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖false处的最短距离是false false
A．false厘米 B．10厘米 C．false厘米 D．8厘米
勾股定理
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?
(?8，15，17?)(9，12，15?)?
最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、经典例题：
1、利用勾股定理求线段的长
例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）已知＝2，＝3，求；
（2）已知，＝32，求、．
解：（1）∵ ∠C＝90°，＝2，＝3，
∴ ；
（2）设，．
∵ ∠C＝90°，＝32，
∴ ．
即．
解得＝8．
∴ ，．
对应练习：如图，在false中，false，false于点false，false，false，求false，false的长．
解：false，false，false，
false．
根据直角三角形的面积公式，得false．
在false中，false
2、利用勾股定理说明边的关系
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，
试说明．
解：∵MN⊥AB，所以，，
∴．
∵AM是中线，所以MC＝MB．
又∵∠C＝90°，∴在Rt△AMC中，，
∴．
3、利用勾股定理求面积
例3、如图，false中，false，以false、false为直径作半圆false和false，且false，则false的长为false false
A．16 B．8 C．4 D．2
解：由勾股定理得，false，
false，
解得，false，
则false，
解得，false，
故选：false．
对应练习：如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若false，false，false，false和false分别代表相应的正方形的面积，且false，false，false，false，则false等于false false
A．25 B．31 C．32 D．40
解：如图，由题意得：
false，
false，
false，
false．故选：false．
4、利用勾股定理解直角三角形折叠问题
例4、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．
∴x=（cm）．
答：DE的长为cm.
对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边false，false，将纸片沿false折叠，直角边false恰好落在斜边上，且与false重合，求false的面积．
解：false，false
false
false将纸片沿false折叠，直角边false恰好落在斜边上，且与false重合，
false，false
false
设false，
则在false中，false
解得false，
即false等于false
false的面积false
答：false的面积为false
5、判断直角三角形
例5、在以线段false，false，false的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是false false
A．false，false，false B．false
C．false，false，false D．false，false，false
解：false、false，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
false、设三角形三边为false，false，false，falsefalse，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
false、falsefalsefalsefalse，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
false、false，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：false．
对应练习：）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．
解：∵AD⊥BC，∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD=CD．
∵AC=2，
∴2AD2=AC2，即2AD2=8，解得AD=CD=2．
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=4，
∴BD===2，
∴BC=BD+CD=2+2，
∴S△ABC=BC?AD=（2+2）×2=2+2．
6、最短距离问题
例6、如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
解：如图②所示，由题意可得：
，
在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：
则AB＝15．
所以需要爬行的最短路程是15．
对应练习：如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的false处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，false的相对方向有一小虫false，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖false处的最短距离是false false
A．false厘米 B．10厘米 C．false厘米 D．8厘米
解：如图所示：最短路径为：false，将圆柱展开，
false，
最短路程为false．故选：false．