基本不等式
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(共19张PPT)
§3.4基本不等式
2002年国际数学家大会会标
创设情境、体会感知：
三国时期吴国数学家赵爽
ICM2002会标
赵爽：弦图
一、新课引入
A
D
C
B
H
G
F
E
a
b
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，
问3：S与S’有什么样的大小关系？
从图形中易得，
s > s’,即
问题1：s, S’有相等的情况吗？何时相等？
图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
形的角度
数的角度
a2+b2－2ab =(a－b)2=0
∴ a=b
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
问题2：当 a,b为任意实数时， 成
立吗？
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
2.代数证明:
3.几何意义：半弦长小于等于半径
（当且仅当a=b时，等号成立）
二、新课讲解
算术平均数
几何平均数
3.几何证明:
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项
1.思考:如果当 用 去替换
中的 ,能得到什么结论
基本不等式
其中a,b∈R？
a≥0，b≥0
证明:要证
只要证
( )
①
②
要证②，只要证
( )
③
要证③，只要证（ － )
④
显然: 是成立的,当且仅当 时
④
④
中的等号成立.
证明:当 时, .
o
a
b
A
B
P
Q
1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则半弦PQ=__ __,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗
2.PQ与AO的大小关系怎样
基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
重要不等式：
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
例1．(1)用篱笆围一个面积为 的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少
应用
解: (1)设矩形菜园的长为 ,宽为 , 则 , 篱笆的长为 .
由
等号当且仅当 时成立,此时
因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40m
得
即
结论1.两个正数积为定值，则和有最小值
例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，
问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
三、例题
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36 , x+ y =18
矩形菜园的面积为xy m2
=18/2=9
得 xy ≤ 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2.两个正数和为定值，则积有最大值
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最
大值_______；
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最
小值_______.
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
和定积最大，积定和最小
三、例题
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
2
1
四、练习
2. 当 x>0 时， 的最小值为 ，此时x= 。
思考：当 x<0时表达式又有何最值呢？
1.已知x>0，y>0，
(1).若xy=36，则x+y的最小值是____，此时x=___，y=___；
(2).若x+y=18，则xy的最大值是____，此时x=___，y=___；
(3).若x+2y=4，则xy的最大值是____，此时x=___，y=___；
2
2
1
12
6
6
81
9
9
课本100页，练习1,2
课本100页，练习3,4
课本100页，A组 2，3
构造条件
三、应用
例1、若 ,求 的最小值.
变3:若 ,求 的最小值.
变2:若 ,求 的最小值.
发现运算结构，应用不等式
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变1:若 求 的最小值
§3.4基本不等式
2002年国际数学家大会会标
创设情境、体会感知：
三国时期吴国数学家赵爽
ICM2002会标
赵爽：弦图
一、新课引入
A
D
C
B
H
G
F
E
a
b
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，
问3：S与S’有什么样的大小关系？
从图形中易得，
s > s’,即
问题1：s, S’有相等的情况吗？何时相等？
图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
形的角度
数的角度
a2+b2－2ab =(a－b)2=0
∴ a=b
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
问题2：当 a,b为任意实数时， 成
立吗？
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
2.代数证明:
3.几何意义：半弦长小于等于半径
（当且仅当a=b时，等号成立）
二、新课讲解
算术平均数
几何平均数
3.几何证明:
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项
1.思考:如果当 用 去替换
中的 ,能得到什么结论
基本不等式
其中a,b∈R？
a≥0，b≥0
证明:要证
只要证
( )
①
②
要证②，只要证
( )
③
要证③，只要证（ － )
④
显然: 是成立的,当且仅当 时
④
④
中的等号成立.
证明:当 时, .
o
a
b
A
B
P
Q
1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则半弦PQ=__ __,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗
2.PQ与AO的大小关系怎样
基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
重要不等式：
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
例1．(1)用篱笆围一个面积为 的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少
应用
解: (1)设矩形菜园的长为 ,宽为 , 则 , 篱笆的长为 .
由
等号当且仅当 时成立,此时
因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40m
得
即
结论1.两个正数积为定值，则和有最小值
例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，
问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
三、例题
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36 , x+ y =18
矩形菜园的面积为xy m2
=18/2=9
得 xy ≤ 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2.两个正数和为定值，则积有最大值
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最
大值_______；
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最
小值_______.
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
和定积最大，积定和最小
三、例题
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
2
1
四、练习
2. 当 x>0 时， 的最小值为 ，此时x= 。
思考：当 x<0时表达式又有何最值呢？
1.已知x>0，y>0，
(1).若xy=36，则x+y的最小值是____，此时x=___，y=___；
(2).若x+y=18，则xy的最大值是____，此时x=___，y=___；
(3).若x+2y=4，则xy的最大值是____，此时x=___，y=___；
2
2
1
12
6
6
81
9
9
课本100页，练习1,2
课本100页，练习3,4
课本100页，A组 2，3
构造条件
三、应用
例1、若 ,求 的最小值.
变3:若 ,求 的最小值.
变2:若 ,求 的最小值.
发现运算结构，应用不等式
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变1:若 求 的最小值