2.1抽象函数（学案）教师用（Word有答案）

抽象函数学案
抽象函数问题
题型一：定义域
例2.
已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得
所以函数的定义域是
题型二：求值与性质判断
例4.
已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。
解：取，得
因为，所以
又取
得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
题型三、值域问题
四、解不等式问题
例6、函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。
（1）证明：；
（2）若成立，求x的取值范围。
(1)证明：令，则，故
（2）（3,4]
五、单调性问题
例7、函数对任意，都有且当时，.
求证:
是上的增函数;
若,解不等式.
证明:
设,则.
∵
∴
=.
∵,由时，,
∴,
∴,
∴,
∴是上的增函数.
(2)
解:
∵,
∴,∴.
∵,即,
由(1)
在上为增函数,
∴,
∴不等式的解集为.
六、奇偶性问题
例8.
已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：取得：，所以
又取得：，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
题型七：综合应用
9、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
求证：f(0)=1；
求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0
∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x则
f(0)=f(x)f(-x)
∴
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0时，f(0)=1>0
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0
∴
010、已知函数对任意实数恒有且当x＞0，
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[－3,3]上的最大值；
(3)解关于的不等式
解（1）取则
取
对任意恒成立
∴为奇函数.
（2）任取，
则
www.ks5u
又为奇函数
∴在（－∞，+∞）上是减函数.
对任意，恒有
而
∴在[－3，3]上的最大值为6
（3）∵为奇函数，∴整理原式得
进一步可得
而在（－∞，+∞）上是减函数，
当时，
当时，
当时，
当时,
当a>2时，
例3
例3
例5
例5
天道酬勤