2020_2021学年高中物理第三章磁场6带电粒子在匀强磁场中的运动学案新人教版选修3_1

6　带电粒子在匀强磁场中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)只考虑磁场作用力时，平行射入匀强磁场中的带电粒子，做匀速直线运动．
(2)垂直射入匀强磁场中的带电粒子，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动．其轨道半径r＝，轨道运行周期T＝，由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而与轨道半径和运动速率无关．
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供的？
提示：向心力由洛伦兹力提供，即qvB＝.
2．回旋加速器
(1)回旋加速器的核心部件是两个D形盒．
(2)粒子每经过一次加速，其轨道半径变大，粒子圆周运动的周期不变．
(3)最大动能：由qvB＝和Ek＝mv2得Ek＝，R为D形盒的半径，即粒子在回旋加速器中获得的最大动能与q、m、B、R有关，与加速电压无关．
回旋加速器上所加交变电流的周期是否需要随粒子速度的变化而变化呢？
提示：不需要．因为粒子运动周期只与磁感应强度和比荷有关．
考点一　　带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在带电粒子(不计重力)以一定的速度进入匀强磁场中时，中学阶段只研究两种情况
(1)若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动．
(2)若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v做匀速圆周运动．
2．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
(1)带电粒子做匀速圆周运动的受力特征：
F洛＝F向，即qvB＝m，所以轨迹半径r＝.
(2)运动的周期：T＝＝
可以看出，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟粒子运动的速率和半径无关，只与粒子本身的质量、电荷量以及磁场的磁感应强度有关．
【例1】　(多选)在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场，则(　　)
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子的速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的1/4
D．粒子的速率不变，周期减半
先明确带电粒子进入另一磁场后速率保持不变，再利用轨道半径公式和周期公式分析问题．
【答案】　BD
【解析】　因洛伦兹力对运动电荷不做功，所以速率不变，应用轨道半径公式r＝和周期公式T＝可判断B、D选项正确．
总结提能
(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，它的轨道半径跟粒子的运动速率成正比．
(2)带电粒子在匀强磁场中的转动周期T与带电粒子的质量和电荷量有关，与磁场的磁感应强度有关，而与轨道半径和运动速率无关．
(多选)如图所示，在xOy平面的第一象限内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两个相同的带电粒子以相同的速度v0先后从y轴上坐标(0,3L)的A点和B点(坐标未知)垂直于y轴射入磁场，在x轴上坐标(L,0)的C点相遇，不计粒子重力及其相互作用．根据题设条件可以确定(　AC　)
A．带电粒子在磁场中运动的半径
B．带电粒子的电荷量
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．带电粒子的质量
解析：已知粒子的入射点及入射方向，同时已知圆上的两点，根据AC(或BC)连线的中垂线与y轴的交点即可明确粒子运动轨迹的圆心位置，由几何关系可知AC长为2L，∠OAC＝30°，则R＝＝2L；因两粒子的速度相同，且是同种粒子，则可知它们的半径相同，即两粒子的半径均可求出；同时根据几何关系可知A对应的圆心角为120°，B对应的圆心角为60°，即可确定对应的弧长，则由t＝可以求得粒子在磁场中运动的时间，故A、C正确．由于不知磁感应强度，故无法求得荷质比，更不能求出电荷量或质量，故B、D错误．
考点二　　　带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子垂直进入匀强磁场中后，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB＝，此式是解决此类问题的基本依据．但由于此类问题既要用到圆周运动的知识，又要用到数学中的几何知识，所以综合性较强．
1．求解此类问题的关键
一“画”：画好草图，确定带电粒子在磁场中的运动轨迹为圆周或圆弧；二“找”：利用几何知识找出圆心；三“确定”：确定圆周运动的半径，然后再根据公式qvB＝列式求解．
2．分析方法
(1)画轨迹．根据题意分析带电粒子在磁场中的受力情况，确定它在磁场中的运动轨迹是圆还是一段圆弧，根据粒子入射、出射磁场时的方向，粗略画出粒子在磁场中的运动轨迹．
(2)找圆心．在画出粒子在磁场中的运动轨迹的基础上，找出圆心的位置，圆心一定在与速度方向垂直的直线上，找圆心通常有两个方法：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点分别作入射方向和出射方向的垂线，其交点就是圆心，如图(a)．②已知入射方向和出射点位置时，利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心．通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线．这两条垂线的交点就是偏转圆弧的圆心，如图(b)．
(3)确定半径．主要由几何关系求出，往往通过添加辅助线，构造直角三角形，然后利用直角三角形中的边角关系求出．
【例2】　如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置．
解答本题时可按以下思路分析：
【答案】　　(－，0)或　(，0)
【解析】　当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，则
qv0B＝m，R＝，T＝
故粒子在磁场中的运动时间
t1＝T＝
粒子在C点离开磁场OC＝2R·sin60°＝
故离开磁场的位置为(－，0)
当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，同理求得粒子在磁场中的运动时间t2＝T＝
离开磁场时的位置为(，0)
总结提能
分析粒子做圆周运动问题时的解题步骤：
(1)画出带电粒子的运动轨迹，确定做圆周运动的圆心及对应圆心角大小，由几何关系确定半径．
(2)粒子在磁场中的运动时间由粒子运动圆弧所对应的圆心角和粒子的运动周期共同决定．
(3)带电粒子由直线边界射入匀强磁场时，射入和射出时的角度具有对称性．对称性是建立几何关系的重要方法．
如图所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABCD，其中AC边与对角线BC垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是(　C　)
A．入射速度越大的电子，其运动时间越长
B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长
C．从AB边出射的电子的运动时间都相等
D．从AC边出射的电子的运动时间都相等
解析：电子以不同的速度沿BC从B点射入磁场，若电子从AB边射出，画出其运动轨迹如图所示，由几何关系可知在AB边射出的电子轨迹所对的圆心角相等，在磁场中的运动时间相等，与速度无关，C对，A错；从AC边射出的电子轨迹所对圆心角不相等，且入射速度越大，其运动轨迹越短，在磁场中的运动时间不相等，B、D错．
考点三　　对回旋加速器的理解
1．构造
如图所示，利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子，这些过程在回旋加速器的核心部件——两个D形盒和其间的窄缝内完成．
(1)磁场的作用——偏转：
带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期与速率、半径均无关(T＝)，带电粒子每次进入D形盒都运动相等的时间(半个周期)后，以平行于电场方向进入电场中加速．
(2)电场的作用——加速：
回旋加速器两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速．
(3)交变电压：
为保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压．
2．工作原理
如图所示，放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v0垂直进入匀强磁场中，在磁场中做匀速圆周运动．经过半个周期，当它沿着半圆A0A1到达A1时，我们在A1A1′处设置一个向上的电场，使这个带电粒子在A1A1
′中受到一次电场的加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以速率v1在磁场中做匀速圆周运动．我们知道，粒子的轨迹半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着增大了的圆周运动．又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1′A2′到达A2′时，我们在A2′A2处设置一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2.如此继续下去，每当粒子运动到A1、A3等处时都使它受到一个向上电场的加速，每当粒子运动到A2′、A4′等处时都使它受到一个向下电场的加速，那么，粒子将沿着图示的螺旋线回旋下去，速率将一步一步地增大．
【例3】　一个用于加速质子的回旋加速器，其核心部分如图所示，D形盒半径为R，垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B，两盒分别与交流电源相连．下列说法正确的是(　　)
A．质子被加速后的最大速度随B、R的增大而增大
B．质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大
C．只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值
D．不需要改变任何量，这个装置也能用于加速α粒子
求解此题应注意以下两点：
(1)交流电的周期与质子做圆周运动的周期相同，回旋加速器才能正常工作．
(2)据匀速圆周运动知识求出质子最大速度的表达式，再据此判断它与何物理量有关．
【答案】　A
【解析】　由r＝得当r＝R时，质子有最大速度vm＝，即B、R越大，vm越大，vm与加速电压无关，A对，B错．随着质子速度v的增大，质量m会发生变化，据T＝知质子做圆周运动的周期也变化，所加交流电与其运动不再同步，即质子不可能一直被加速下去，C错．由上面周期公式知α粒子与质子做圆周运动的周期不同，故此装置不能用于加速α粒子，D错．答案为A.
(多选)1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示．这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　AD　)
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
解析：回旋加速器的两个D形盒间隙分布周期性变化的电场，不断地给带电粒子加速使其获得能量；而D形盒处分布有恒定不变的磁场，具有一定速度的带电粒子在D形盒内受到磁场的洛伦兹力提供的向心力而做圆周运动；洛伦兹力不做功，故不能使离子获得能量，C错；离子源在回旋加速器的中心附近进入加速器，故B错，所以正确选项为A、D.
考点四　　带电粒子在复合场中的运动
1．复合场
一般是指电场、磁场和重力场并存，或其中两种场并存，或分区域存在．
2．三种场力的特点
(1)重力的方向始终竖直向下，重力做功与路径无关，重力做的功等于重力势能的减少量．
(2)静电力的方向与电场方向相同或相反，静电力做功与路径无关，静电力做的功等于电势能的减少量．
(3)洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关，方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面．无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力始终不做功．
3．带电粒子在复合场中的运动规律及解决办法
带电粒子在复合场中运动时，其运动状态是由粒子所受静电力、洛伦兹力和重力的共同作用来决定的，对于有轨道约束的运动，还要考虑弹力、摩擦力对运动的影响，带电粒子在复合场中的运动情况及解题方法如下：
(1)带电粒子在复合场中处于静止或匀速直线运动状态时，带电粒子所受合力为零，应利用平衡条件列方程求解．
(2)带电粒子做匀速圆周运动时，重力和静电力平衡，洛伦兹力提供向心力，应利用平衡方程和向心力公式求解．
(3)当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，带电粒子所受洛伦兹力必不为零，且其大小和方向不断变化，但洛伦兹力不做功，这类问题一般应用动能定理求解．
带电粒子在磁场中做匀变速直线运动的情况
?1?粒子不受洛伦兹力.
?2?所受洛伦兹力始终与某个力平衡.否则带电粒子将做非匀变速曲线运动.
【例4】　如图所示，真空中有以(r,0)为圆心、r为半径的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y＝r的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E.从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中偏转的半径也为r.已知质子的电荷量为q，质量为m，不计重力、质子间的相互作用力和阻力．求：
(1)质子射入磁场时速度的大小；
(2)沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间；
(3)与x轴正方向成30°角(如图中所示)射入的质子，到达y轴的位置坐标．
解答本题的关键是正确分析质子在圆形匀强磁场中和匀强电场中的运动规律，画出其运动轨迹．
【答案】　(1)　(2)＋
(3)(0，r＋Br)
【解析】　(1)质子射入磁场后做匀速圆周运动，
有qvB＝m，解得v＝
(2)质子沿x轴正方向射入磁场，经圆周后以速度v垂直于电场方向进入电场，质子在磁场中运动的周期T＝
在磁场中运动的时间t1＝＝
进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动r后到达y轴，因此有t2＝＝
故所需的时间为t＝t1＋t2＝＋
(3)质子沿题图所示方向射入磁场，在磁场中转过120°角后从P点射出磁场，匀速运动一段距离后垂直于电场方向进入电场，如图所示．
P点距y轴的距离x1＝r＋rsin30°＝1.5r　又x1＝·t2′2
解得质子到达y轴所需的时间为t2′＝
在y轴方向质子做匀速直线运动，
因此有y′＝vt2′＝Br　故质子到达y轴的位置坐标为(0，r＋Br)．
总结提能
解决该类问题时应把握以下几个方面：
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画轨迹、找圆心、定半径及寻找几何关系．
(2)带电粒子在匀强电场中的运动是类平抛运动，关键是处理两个方向的分运动．
(3)处理好粒子在两种场中运动的衔接关系．
已知质量为m的带电液滴，以速度v射入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B中，液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示．求：
(1)液滴在空间受到几个力作用．
(2)液滴所带电荷量及电性．
(3)液滴做匀速圆周运动的半径多大？
答案：(1)3　(2)　负电　(3)
解析：(1)由于是带电液滴，它必然受重力，又处于电磁场中，还应受到电场力及洛伦兹力共3个力作用．
(2)因液滴做匀速圆周运动，故必须满足重力与电场力平衡，所以液滴应带负电，电荷量由mg＝Eq，求得q＝.
(3)尽管液滴受三个力，但合力为洛伦兹力，所以仍可用半径公式R＝，把电荷量代入可得R＝＝.
1．(多选)运动电荷进入磁场后(无其他场)，可能做(　AB　)
A．匀速圆周运动
B．匀速直线运动
C．匀加速直线运动
D．平抛运动
解析：运动电荷如果垂直磁场进入后做匀速圆周运动，即A选项正确；如果运动电荷的速度跟磁场平行，则电荷做匀速直线运动，即B选项正确．
2．(多选)两个粒子电荷量相同，在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动(　CD　)
A．若速率相等，则半径必相等
B．若动能相等，则周期必相等
C．若质量相等，则周期必相等
D．若质量与速度的乘积大小相等，则半径必相等
解析：因为粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝，周期T＝，又粒子电荷量相同且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以C、D正确．
3．如图所示，正八边形区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带电粒子从h点沿图示he方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb.当速度大小为vd时，从d点离开磁场，在磁场中运动的时间为td，不计粒子重力．则下列正确的说法是(　C　)
解析：粒子运动轨迹如图所示．设正八边形的边长为l，根据几何关系可知，粒子从b点离开时的轨道半径为l，偏转角度为135°，粒子从d点离开时的轨道半径为(2＋)l，偏转角度为45°，洛伦兹力提供向心力qvB＝＝mω2r，则运动时间t＝＝，所以，＝＝＝，故C项正确．
4．(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场．在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场．在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同
B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场
C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场
D．从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场
解析：画轨迹草图如图所示，容易得出粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故A、B、D正确．
5．如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．磁场中有一内、外半径分别为R、R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出．不计粒子重力．
(1)求粒子从P到M所用的时间t；
(2)若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出．粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度v0的大小．
答案：(1)　(2)
解析：(1)设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，设粒子在电场中运动所受电场力为F，有F＝qE，设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有F＝ma，粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有v＝at，得t＝.
(2)粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定．故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短．设粒子在磁场中的轨迹半径为r′，由几何关系可得(r′－R)2＋(R)2＝r′2，设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为θ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知tanθ＝，粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v.在垂直于电场方向上的分速度始终等于v0，由运动的合成和分解可得tanθ＝，得v0＝.
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