28.2.1解直角三角形 课堂互动训练（含答案）

28.2.1 解直角三角形
自主预习
1.解直角三角形的依据(∠C=90°)：
(1)三边之间的关系： (勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系： ；
(3)边角之间关系：sinA= ，sinB= ；cosA= ，cosB= ；
tanA= ，tanB= .
2. 如图，已知∠C＝90°，∠A＝28°，AC＝6米，AB≈ 米.(精确到0.1)
互动训练
知识点一： 已知两边解直角三角形
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出
C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是( )
A. B.false C.false D.false
3.在Rt△ABC中，AB=4，AC=2false，∠C=90°，则∠A的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
4.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，a=5，
c=5false，则∠B= ，b= .
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=2false,AC=6false，解此直角三角形.
5题图
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=4false，a=4false，解这个直角三角形.
知识点二：已知一边一锐角解直角三角形
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=false，则BC的长为( )
A. 4 B. 2false C. false D. false

7题图 8题图
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( )
A. false B.4 C.8false D.4false
9.已知三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.6.5
10.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为( )
A.4.5 cm2 B.9false cm2 C.18false cm2 D.36 cm2
11.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9false，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=false，则BD的长为 .
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.求下列直角三角形中的未知量.
(1)∠B=60°，c=25； (2)∠A=30°，b=false.
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8false，∠A=60°，解这个直角三角形.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，AC=4，解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)
14题图
知识点三：解直角三角形的综合应用
15.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=false，cosB=false，AC=40，则△ABC的面积是( )
A.800 B.800false C.400 D.400false
16.如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，BC=14，AD=12，sinB=false，则线段DC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6

16题图 17题图
17.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD，B(0，false)，∠BA0=60°，那么点C的坐标为 ____.
18.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=false，∠A，∠B为锐角，求tanB的值.
19.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=false，求AD的长.
19题图
课时达标
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A，b，解此直角三角形就是要求出( )
A.c B.a，c
C.∠B，a，c D.∠B，a，c，△ABC的面积
2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是( )
A.sinB=false B.cosB=false C.tanB=2 D.cosB=false
3.如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，false，则下列结论正确的个数是（ ）
①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝falsecm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3题图 4题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= .
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
5.根据下列条件解Rt△ABC(∠C=90°).
(1)∠A=30°，b=false； (2)c=4，b=2false.
6.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10false，AB=20.求∠A的度数.
6题图
7.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2false，求AB的长.
7题图
8.如图，C、D是半圆O上两点，false，求cos∠CEB和tan∠CEB．

8题图
9.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．
(1)试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
(2)若⊙O的半径为3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．

9题图
拓展探究
1.探究：已知如图1，在△ABC中，∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c，AC=b,试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；
应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，试用含b，c，α的式子表示平行四边形ABCD的面积.
28.2.1 解直角三角形答案
自主预习
1. (1) a2+b2=c2 (2) ∠A+∠B=90° (3)false false false false false false
2. 6.8
互动训练
1. C. 2. A.
3.C.解析：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2false，∠C=90°，
∴cosA=false=false=，∴∠A=45°.故选C.
4.45°，5. 解析：∵sinA=false=false=false，∴∠A=45°，∴∠B=90°－∠A=45°，∴∠B=∠A，∴b=a=5.
5.解：∵tanA=false=false=false， ∴∠A=30°.
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4false.
6.解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，b=4false，a=4false，∴tanA=false=false=false，∴∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°，∴c=2b=8false.
故c=8false，∠A=60°，∠B=30°.
7. A.
8. D. 解析：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=8，
∴BC=ABcosB=8×false=4false.故选D.
9.D. 解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不可能大于6.故选D.
10. B. 11. 6.
12.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，∴sinA=false=false， ∵c=25，∴a=false.
∵cosA=false=false，c=25，∴b=false.
综上a=false， b=false，∠A=30°.
(2) ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，cosA=false=false，∵b=false，∴c=2，∴a=falsec=1.
综上，a=l，c=2，∠B=60°.
13.解：∵∠A=60°， ∴∠B=90°-∠A=30°.
∵sinA=false, ∴a=c·sinA=8false×sin60°=8false×false=12，
∴b=false=false=4false.
14.解：∠A=90°-∠B=90°-55°=35°.
∵tanB=false，∴BC=false=false≈2.8.
∵sinB=false，∴AB=false=false≈4.9.
15. D. 解析：∴sinA=false，cosB=false，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC.
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=falseAC=20，AD=20false，
∴AB=2AD=40false，∴S△ABC=falseAB·CD=400false. 故选D.
15题图
16. C. 解析：∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC.
在Rt△BDA中，∠BDA=90°，AD=12，sinB=false=false，
∴AB=15，∴BD=false=false=9，
DC=BC－BD=14－9=5. 故选C.
17. (－false， false＋1). 解析：过点C作CE⊥y轴于点E，
则Rt△CEB≌Rt△BOA，∴CE=BO=false，BE=AO=false=l，
∴OE=OB＋BE=false＋1，∴点C的坐标为(－false，false＋1) .
18.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则sinA=false=false，∴CD=falseAC=4.
在Rt△BCD，BC=5，CD=4，∴BD=3，∴tanB=false=false.
19.解：(1)∵∠A=60o，∠ABE=90°，∴∠E=30°.
在Rt△ABE中，∵AB=6，tanA=false，∴BE=AB·tanA=6×tan60°=6false.
∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=false，
∴CE=false=false=8，BC=BE－CE=6false－8.
(2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=false=false，∴设BE=4x，AE=5x，则AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE=false=false=false=false，解得DE=false，
∴AD=AE－DE=10－false=false.
19题图
课时达标
1. C. 2. A.
3. C. 解析：由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm．
在Rt△ADE中，∵ AD＝5 cm，sin A＝false，∴ DE＝AD·sinA＝false(cm)．
∴ false(cm)．∴ BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．
菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．
在Rt△DEB中，false(cm)．
综上所述①②③正确．故选C．
4. 24.
5.(1)∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. ∵tanA=false，∴a=b·tanA=false×false=1. ∴c=2a=2.
(2)由勾股定理得：a=false=false=2false.
∵b=2false，a=2false，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°.
6.在Rt△BDC中，∵sin∠BDC=false，
∴BC=BD×sin∠BDC=10false×sin45°=10.
在Rt△ABC中，∵sin∠A=false=false=false，∴∠A=30°.
7.过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD.
∵∠A=30°，AC=2false，∴CD=false，∴BD=CD=false.
由勾股定理得：AD=false=3. ∴AB=AD+BD=3+false.
8. 解：如图，连结BC，则∠ACB=90°，△ECD∽△EBA，
∴false，cos∠CEB=false tan∠CEB=false
8题图
9. 解： (1)CD与⊙O相切．
理由：如图所示，连接OD，则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥DC，
∴ ∠CDO＝∠AOD＝90°，∴ OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．
(2)如图所示，连接BE，则∠ADE＝∠ABE．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)．
在Rt△ABE中，false．
∴sin∠ADE＝sin∠ABEfalse．

9题图
拓展探究
1.探究：过点B作BD⊥AC,垂足为D.
∵AB=c，∠A=α，∴BD=c·sinα. ∴S△ABC=falseAC·BD=falsebcsinα.
应用：过点C作CE⊥DO于点E. ∴sinα=false.
∵在□ABCD中，AC=a，BD=b，∴CO=falsea，DO=falseb.
∴S△COD=falseCO·DO·sinα=18absinα.
∴S△BCD=falseCE×BD=false×falseasinα×b=falseabsinα，
∴S□ABCD=2S△BCD=falseabsinα.