28.2.2应用举例（第2课时） 课堂互动训练（含答案）

28.2 .2应用举例（第2课时）
自主预习
1. 如图,某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点,B在O点的正东方，且在A的正南方,则此时AB间的距离是 米.(结果保留根号)

1题图 3题图
2. 坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的 (或坡比)，记作i，即 .坡面与水平面的夹角叫做 ，记作tanα，有i=false= .
3. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )
A.12米 B.4米 C.5米 D.6米
互动训练
知识点1 利用方向角解直角三角形
1. 小刚同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小刚同学离A地( )
A.50falsem B.100 m C.150 m D.100false m

1题图 2题图 3题图
2.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
A.60海里 B.45海里 C.20false海里 D.30false海里
3.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )
A.20(false＋1)米/秒 B.20(false－1)米/秒 C.200米/秒 D.300米/秒
4. 如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．

4题图
5. 如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．

5题图
6.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.
6题图
知识点2 利用坡度(角)解直角三角形
7.已知一堤坝的坡度i＝1：，堤坝的高度为10米，则堤坝的斜坡长为（　　）
A．10米 B．10米 C．20米 D．20米

7题图 8题图 9题图
8.如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（　　）
A．10sin36° B．10cos36° C．10tan36° D．
9.如图，在坡度为1：2的山坡上种树，如果相邻两树之间的水平距离是4米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离是（　　）
A．4米 B．2米 C．4米 D．2米
10.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米.
11.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至已知B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了____米.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)

11题图 12题图
12.如图，在坡度为1∶2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于　　　米（保留根号）．
13.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.(精确到0.1米，参考数据：false≈1.414，false≈1.732)
13题图
14.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角∠FDC为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C到岸边的距离CA.(参考数据： false≈1.73，结果保留一位小数)
14题图
15. 如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．
（参考数据：）

15题图
课时达标
1.如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（　　）
A．24海里/时 B．8海里/时 C．24海里/时 D．8海里/时

1题图 2题图
2.一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（　　）
A．16m B．32m C．32m D．64m
3.如果某人沿坡度为3：4的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了（　　）
A．6m B．8m C．10m D．12m
4.如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是　　　海里．

4题图 5题图
5.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1︰2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为　　　m．
6.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12false米，∠B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=false，则CE的长为 米.

6题图 7题图
7.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是 　　米．
8.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
8题图
9.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1∶false，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
9题图
拓展探究
1.四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD＝9时，四边形ABCD的面积最大值是（　　）
A． B． C．19 D．21

1题图 2题图
2.如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　　　　　　　nmile．（结果保留根号）
3.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s），交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
（1）在图中直接标出表示60°和45°的角；
（2）写出点B、点C坐标；
（3）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中取1.7）
3题图
28.2.2应用举例（第2课时）答案
自主预习
1. 10false. 2. 坡度 i=false 坡角 tanα 3. A.
互动训练
1. D.
2. D. 解析：由题意知∠APB=90°，∠A=60°，PA=30海里，∴PB=PA·tanA=30×tan60°=30false(海里).故选D.
3. A. 解析：如图，过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，因为∠ABD=60°，BD=200米，所以AD=BDtan∠ABD=200米，在Rt△CDB中，BD=200米，∠CBD=45°，所以CD=BD=200米，
则AC=AD＋CD=(200＋200false)米，
则平均速度是false=(20false＋1)米/秒.故选A.

3题图 4题图
4. 解：过点P作PC⊥AB垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，
在Rt△APC中，．∴PC＝PA·cos∠APC＝，
在Rt△PCB中，，∴
∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里．
5. 解：过P作PC⊥AB于点C，
在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，
∴AC=AP?sin45°=40×=40（海里），PC=AP?cos45°=40×=40（海里），
在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，
∴BC=PC?tan60°=40（海里），
则AB=AC+BC=（40+40）海里．

5题图 6题图
6. 解：如图，过点M作MN⊥AC于点N，此时MN最短.
由题意知∠EAC=60°，∠EAM=30°，∴∠CAM=30°，
∴∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，
∵∠EAC=60°，∴∠CAD=30°，∴∠BCA=30°，
∴∠MCA=∠MCB＋∠BCA=60°，∴∠AMC=90°.
在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，∴MC=falseAC=1000米.
在Rt△CMN中，∠MCN=60°，∴∠CMN=30°，∴NC=falseMC=500米.
∴AN=AC－NC=2000－500=1500(米).
因此，AN的长为1500米.
7. C. 解析：如图所示，∵山路坡面坡度i＝1︰false，
∴设AB＝x，则OB＝falsex，∴OA＝2x．
∵堤坝的高度为10米，∴AB＝10米，∴OA＝20米．故选：C．

7题图 8题图 9题图
8. A. 解析：由题意知：sinB＝，即sin36°＝，故AC＝10sin36°．故选：A．
9. B. 解析：如图，在Rt△ABC中，＝
∵AC＝4，∴BC＝2，由勾股定理得，AB＝＝2（米），故选：B．
10. 26
11.280. 解析：在Rt△ABC中，AC=ABsin34°=500×0.56≈280(米)，
所以这名滑雪运动员的高度下降了280米.
12. （20﹣25）．解析：如图，延长CB交水平面于点D，
根据题意可知：CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝65，
∵BD︰AD＝1︰2.4，∴AD＝2.4BD，根据勾股定理，
得AD2+BD2＝AB2，即BD2+（2.4BD）2＝652，解得BD＝25，∴AD＝60，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴tan30°＝，即＝，解得CB＝20﹣25（米）．
答：树高BC等于（20﹣25）米．故答案为：（20﹣25）．

12题图 14题图
13.解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形.
由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，
在Rt△ABE中，BE=20米，false=false，∴AE=50米.
在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=false=20false米.
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20false≈90.6(米).
答：坝底AD的长度约为90.6米.
14.解：如图，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E，延长DG交CA的延长线于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.
∵i=false=false，BE=8米，∴AE=6米.
∵DG=1.5米，BG=l米，
∴DH=DG＋GH=1.5＋8=9.5(米)，AH=AE＋EH=6＋l=7(米).
在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5米，tanC=false，∴CH=false米.
又CH=CA＋7，即false=CA＋7，∴CA≈9.4米.
因此，小船C到岸边的距离CA约是9.4米.
15. 解：（1）在Rt△ABC中，
BC=AC=AB?sin45°=（m），
在Rt△ADC中，AD==5（m），
CD==（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．
改善后的斜坡会加长2.07m；
（2）这样改造能行．
∵CD﹣BC ≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．
15题图
课时达标
1. D. 解析：在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AB＝48海里，∴AC＝AB＝24海里，
则这艘船航行的速度为24÷3＝8（海里/小时）， 故选：D．
2. B. 解析：设斜坡的坡角为α，当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64，
∵斜坡的坡比1：，∴tanα＝，∴α＝30°，
∴此人下降的高度＝×64＝32（m），故选：B．
3. A. 解析：设他所在的位置比原来的位置升高了3xm，
∵坡度为3：4，∴他前进的水平距离为4xm，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，解得，x＝2，
则3x＝6，即他所在的位置比原来的位置升高了6m，故选：A．
4. 40. 解析：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，
∴∠PBE＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴AB＝BP＝40海里．故答案为：40．

4题图 6题图
5. 75. 解析：∵斜坡的坡度i＝1︰2.5，∴BC︰AC＝1︰2.5，∴AC＝75（m），
故答案为：75．
6. 8. 解析：如图，分别过点A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G.
在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，sinB=false，
∴AF=false米，∴DG=false米，
在Rt△DGC中，∵CD=12false米，DG=false米，
∴GC=false =18米.
在Rt△DEG中，∵tanE=false，∴false，
∴GE =26米，∴CE=GE－CG=26－18=8(米)，即CE的长为8米.
7. 15﹣5）．解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，
根据题意可知：∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，∴BH＝5，AH＝5，
∵CE⊥AE，∴四边形BHEF是矩形，∴EF＝BH＝5，
BF＝HE＝AH+AE＝5+10，
∵∠DAE＝60°，∴DE＝AE?tan60°＝10，∴DF＝DE﹣EF＝10﹣5，
∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF＝5+10，
∴CD＝CF﹣DF＝5+10﹣（10﹣5）＝15﹣5（米）．
所以标识牌CD的高度是（15﹣5）米．故答案为：（15﹣5）．
7题图
8.过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.
由题意，得∠CAD=30°，∠CBD=53°，AC=80海里，∴CD=40海里.
在Rt△CBD中，sin53°=false，
∴CB=false≈false=50（海里）.false=1.25(小时).
答：海警船到达C处需1.25小时.
9.过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i=false=false=tan∠ECF，∴∠ECF=30°.
∴EF=falseCE=10米，CF=10false米.
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=(25+10false)米.
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=(25+10false)米.
∴AB=AH+HB=(35+10false)米.
答：楼房AB的高为(35+10false)米.
拓展探究
1. B. 解析：过B作BF⊥AC，与CA延长线交于点F，过D作DE⊥AC于点E，
∵AC与BD所成的锐角为45°，∴BF＝OBsin45°，DE＝ODsin45°，
∴四边形ABCD的面积=
S△ABC+S△ACD=falseAC·BF+falseAC·DE=falseAC(BF+DE)
=falseAC(OBsin45°+ODsin45°)=falseAC·BD·sin45°
设AC＝x，则BD＝9﹣x，
∴S＝x（9﹣x）×＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝，S有最大值． 故选：B．
1题图
2. 50．解析：根据题意，得：∠PAB＝60°，∠PBA＝30，AB＝2.5×40＝100（nmile），
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
在Rt△PAB中，PB＝AB?sin∠PAB＝100×＝50（nmile）．
故答案为：50．
3. 解：（1）如图所示，∠OAB＝60°，∠OAC＝45°；
（2）∵在直角三角形ABO中，AO＝100，∠BAO＝60度，
∴OB＝OA?tan60°＝100，∴点B的坐标是（﹣100，0）；
∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC＝OA＝100，
∴C的坐标是（100，0）；
（3）BC＝BO+OC＝100+100≈270（m）．270÷15＝18（m/s）．
∵18＞，∴该汽车在这段限速路上超速了．
3题图