第1章 特殊平行四边形《矩形》题型解读3 典型题型：折叠问题

1130300010985500北师大版九上第一章《矩形》题型全解讲义
题型解读2-3 矩形典型题型：折叠问题
【知识梳理】
1.折叠问题总体解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理；
2.折叠问题的三种题型
①折叠后点的位置确定：不涉及分类讨论，只是几何证明与计算；（例1）
②折叠后点的位置不确定：涉及分类讨论；（例2）
③折叠后的特殊图形的边或角位置不确定，涉及分类讨论；（例3）
3.折叠问题中常见的数学典型模型---“角平分线+平行线=等腰△”；（例4、例5）
由折叠性质“折叠前后的角相等”则知：折痕是角平分线，矩形对边会平行，所以在矩形中的折叠问题，常常出现这个数学典型模型的运用。如图：
4.折叠问题常见的添辅助线方法：连接对应点，则折痕垂直平分对应点的边线；（例5）
【典型例题】
例1.如图， 矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.
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【思路分析】由折叠性质易证ODP≌△OEG，则在直角三角形BCG中，运用方程思想及勾股定理，即可求出AP的长；
【解题过程】
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，由折叠性质得：∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，∵∠D=∠E，OD=OE，∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG,∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP,设AP=EP=x，则PD=GE=6－x，DG=x，∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x,根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2
即：62+（8－x）2=（x+2）2,解得：x=4.8∴AP=4.8.
例2.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F恰好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________.
【思路分析】由于D点折叠后的对应点F，题目只交待在直线MN上，并没告之具体位置，有可能在线段MN上，也可能在N的上方或在M点的上方，故需要分情况讨论，画图便知点F不可能在M点的上方，所以分两种情况进行论证计算；
【解题过程】分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=2,设DE=EF=a,EM=4-a,在Rt△EFM中，a2=(4-a)2+22，解得a=52；
②如图2，当F在矩形外部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=8,设DE=EF=b,EM=b-4,在Rt△EFM中，b2=(b-4)2+82，解得b=10；综上所述，DE的长为52 或10.
例3.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC=2,将△ABC折叠，使点B落在边AC上点D(不与点A重合)处，折痕为PQ,当重叠部分△PQD为等腰三角形时，则AD的长为___________

【思路分析】折叠时由于Q、D点的位置不确定性，所以△PQD各边长度的不确定性，故当△PQD为等腰三角形时，需分三种情况进行分类讨论；
【解题过程】分三种情况：
①PD=DQ时，则BP=PD=DQ=BQ,四边形BQDP是菱形，PD//BC,BP//DQ,易得△APD、△CDQ是等腰直角三角形，则PD=DQ=CD=√2AD，则AC=AD+CD=AD+√2AD=2,∴AD=2√2-2；
②DQ=PQ时，BQ=PQ,∴∠BPQ=∠B=45°,△BPQ是等腰直角三角形，此时点B与点C重合，∴AD=AC=2；
③PD=PQ时，PQ=BP,∴∠BQP=∠B=45°,△BPQ是等腰直角三角形，此时点B与点A重合，不符题意，舍去；
综上所述，AD的长为2或2√2-2.
例4.现有一张矩形纸片 ABCD（如图），其中 AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点E′，连接E′C，则线段 E′C=____．
【思路分析】由于A、B、E的位置是确定的，故点E`的位置也是确定的，所以不存在分类讨论，只需要运用几何知识进行证明与计算得出B`C的长即可。折叠过程中，出现数学典型模型“角平分线+等腰△=平行线”，AE是角平分线、△EE`C是等腰三角形，所以易得CE`//AE，依等腰三角形的“三线合一”及“平行线的距离处处相等”可用辅助线EM⊥E`C，E`N⊥AE，利用数学典型模型“双垂直模型”的面积用法，可求出E`N的长，即EM的长，由勾股定理E`C长。
【解题过程】
由折叠性质可得：∠AEB=∠AEE`，∵BE=EC=EE`，∴∠EE`C=∠ECE`，由外角性质可得∠BEE`=∠EE`C+∠ECE`，∴∠AEB=∠ECE`，∴AE//CE`，作EM⊥E`C，E`N⊥AE，∴E`N=EM，∵AB=4，BE=3，∴AE=5，在Rt△AEE`中，由AE`×EE`=AE×NE`可得NE`=12/5，∴EM=12/5，在Rt△MEE`中，∵EE`=3，EM=12/5，由勾股定理可得E`M=9/5，∴E`C=2E`M=18/5.

例5.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB`与AD的交点C`处，则BC：AB的值为__________
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【思路分析】
连接CC`，由EC=EC`，BC//AD，依“等腰+平行线=角平分线”可得∠DC`C=∠B`C`C，则易证△C`DC≌△C`B`C，则CD=CB`=AB，∵AB=AB`，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，∴BC：AB=√3
【解题过程】
连接CC`，∵CE=C`E，∴∠ECC`=∠EC`C，∵AD//BC，∴∠ECC`=∠CC`D，∴∠CC`B`=∠CC`D，∵∠D=∠C`B`C=90°，CC`=CC`，∴△C`DC≌△C`B`C，∴CD=CB`，∵CD=AB=AB`，∴AB=AB`=CB`，即AC=2AB，∴∠ACB=30°，∴BC：AB=√3.
例6.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
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【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，
在△ANF和△CME中，∠FAN=∠EMC，AN=CM，∠ANF=∠CME，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，
（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC?AB=5×6=30．
例7..正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=226，AE=8，则ED=______
解析： 依几何题审题技巧可知，BM在图形的下方，而AE、DE在图形的下方，所以需想办法将BM的位置往上转移，且必须依靠题中的另两个条件：“GB平分∠CGE和折叠”来转移，而BM与这两个条件均无直接关系，故必须要作辅助线来“搭桥梁”，而折叠问题最常见的添辅助线方法就是连接对应点，它会被折痕垂直平分，所以连接BE，交FH于点N，这样BE与已知条件AE均在Rt△ABE中，与已知条件BM均在Rt△BMN中，而AB与AD相等，这样已知条件与DE均建立起了联系，转移思路应该是：BM→BN→BE→AB→AD，而由BM到BN，只有两种方法：①知MN由勾股定理算BN；②Rt△BMN是含有特殊角的直角三角形，很容易排除第①种方法，则思考的重点集中在寻找Rt△BMN中的特殊角，而此时，只有一个条件还没运用：GB平分∠CGE，而初中角平分线只有一条性质，故联想到了应该作BP⊥EH于点P，则△CBG≌△PBG，可得∠PBG=∠CBG，BP=BC，易得BP=AB，则Rt△ABE≌Rt△PBE(HL),可得∠ABE=∠PBE，则可得∠EBG=45°，便可由BM的长得BN的长，进而得BE的长，由勾股定理得AB的长，即AD的长，即可求出DE的长。
过点B作BP⊥EH于点P，连接BE，交FH于点N，∵GB平分∠CGE，∠BPG=∠BCG=90°，∴BP=BC，∴BP=AB，∴Rt△ABE≌Rt△PBE(HL),∴∠ABE=∠PBE,∵∠PBG=∠CBG,∴∠EBG=45°,∴△BNM是等腰直角三角形，∴BM=2BN，∴BN=213，由折叠性质可得NE=BN，∴BE=413，在Rt△ABE中，AE=8，BE=413，由勾股定理可得AB=12，∴AD=12，∴DE=AD-AE=12-8=4.
例8.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ D ）
3619503600452333625302260 A. 14 B. 192 C. 252 D. 15
解析：中等难度题，数学典型题型：折叠问题，考查勾股定理的应用。如图，作EM⊥BC于点M，由数学典型模型“角平分线+平行线=等腰△”可得△DEF是等腰三角形，DE=DF，则易证△DCF≌△DA`E，设FC=a,则AE=A`E=a，DE=16-a，A`D=12,在Rt△A`ED中，由勾股定理解得a=72,则MF=9, 在Rt△EMF中，由勾股定理可得EF=15,选D
例9．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：BG＝DG；
（2）求C′G的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．
【分析】（1）由折叠性质知∠A＝∠C′，AB＝C′D，再利用“AAS”证△GAB≌△GC′D得BG＝DG；
（2）设C′G＝x，由全等性质知GD＝BG＝8﹣x，再在Rt△ABG中，利用勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解之可得答案；
（3）先求出BD＝10，再证MN是△ABD的中位线得DN＝12BD＝5cm，MN＝3cm，证EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解之可得答案．
解：（1）∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，
∴△GAB≌△GC′D（AAS），∴BG＝DG；
（2）∵△GAB≌△GC′D，∴AG＝C′G，设C′G＝x，则GD＝BG＝8﹣x，∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x=74；
（3）∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴在Rt△ABD中，BD＝10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝12BD＝5cm，在Rt△MND中，MN＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，
设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝76，即EM＝76cm．