第1章 特殊平行四边形《菱形》 题型解读1 菱形的定义与性质应用题型

1197610012636500北师大版九上第一章《菱形》题型全解讲义
题型解读1-1 菱形的定义与性质应用题型
【知识梳理】
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（既是性质也是判定）
2.性质：
1.边：对边平行且相等（共有）；四边均相等（独有）；
2.角：对角相等、邻角互补（共有）；
3.对角线：互相平分（共有）；互相垂直（独有）；平分对角（独有）。
①注意：是“平分、垂直”而不是“相等”；
②菱形的一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有），
菱形的两条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有）；
③面积公式：底×高（共有）；两条对角线乘积的一半（独有），如图：
4.对称性
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴；
菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
5.菱形常见辅助线
【典型例题】
例1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
【解析】对角线垂直是菱形区别于平行四边形的独有性质，选D
例2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．
2038350549275【解析】数学典型模型：“双垂型”的面积用法；利用菱形“对角线垂直”的性质、勾股定理及三角形面积公式解答。∵菱形的对角线互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．由勾股定理可得BC＝5．则OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．∴OE＝12/5．
471487580645例3如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，
菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于____
【解析】利用菱形“四边相等”、“对角线平分”的性质及中位线定理解题.
∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=3.5．
例4.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=3，则点P到AD的距离为
417195080645【解析】利用菱形“对角线平分对角”及角平分线的性质解答
作PF⊥AD于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC是∠DAB的角平分线，
∴PF=PE=3，即点P到AD的距离为3.
5114925217805
例5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边
上的中点，连接EF，若EF=√3，BD=4，则菱形ABCD的周长为___．
【解析】利用菱形“对角线垂直平分”、“四边相等”的性质及中位线定理解题。
由题易得：EF是△ABC的中位线，则AC=2EF=2√3，由OA=√3，BO=2，由勾股定理可得AB=√7，所以菱形的周长为4√7。
5095875320675例6.如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于_____
【解析】利用菱形两种求面积的方法列式解题。
∵四边形ABCD是菱形，，，根据菱形的性质可得OA=4，OB=3，
由勾股定理可得AB=5，再由菱形面积=AC×BD÷2=AB×DH，即可求出DH=4.8.
例7.如图，菱形ABCD的面积为120，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_______.
【解析】利用菱形“对称性”、“对角线垂直平分”的性质解题。
连结AC、BD交于点O，由对称性知，菱形的对角线BD过点E、F，由菱形性质知，BD⊥AC，∴BD×AC÷2=120①，又正方形的面积为50，∴AE＝5√2， AO*2＋EO*2＝50，∴AO＝EO＝5所以，AC＝10，代入①式，得BD＝24，∴BO＝12，由勾股定理可得AB＝13
例8.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为_______
【解析】“将军饮马问题”，利用菱形的对称性质可解题．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．
472440029210
例9.如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
【解析】（1）要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．
（2）求菱形的面积，由（1）可得知道△ABE为等边三角形，可得出菱形的高，用面积公式可求得．
（1）证明：∵在?ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=BC/2，AF=DF=AD/2，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．
（2）∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．
又BC=2AB=4，∴AB=BC/2=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，?ABCD的BC边上的高为√3，∴菱形AECF的面积为2√3.
例10.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形。
（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=43，求∠C的大小.
解析：（1）数学典型模型：角平分线+平行线=等腰△；由图可知：AB=AF，AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE,∵BE//AF,∴∠BEA=∠FAE,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE,∵AB=AF,∴BE=AF,∵BE//AF,∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）连接BF，∵四边形ABEF是菱形，∴AG=GE,BF⊥AE,在Rt△ABG中，∵AB=4,AG=2√3,∴cos∠BAG=AG:AB=√3/2,∴∠BAG=30?,∴∠BAF=60?,∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAF=60?.
例11.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【解答】
（1）连接AC，利用菱形性质及等腰三角形“三线合一”解题；
解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．
（2）连接AC，利用菱形性质，通过三角形全等可证明；
证：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF， ∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）由题易得：∠AEB=45°，利用“45°角常见添辅助线方法”构造直角三角形，利用角度的等量代换，易得△AEF是等边三角形，△CHF是含30?角的直角三角形，利用特殊角与边的关系，即可得出F到BC的距离.
解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2√3，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2√3，∴EB=EG﹣BG=2√3﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2√3﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2√3﹣2，
由勾股定理可得FH=（2√3﹣2）?（√3/2）=3﹣√3．∴点F到BC的距离为3﹣√3．