沪教版（上海）数学八年级第二学期21.1 一元整式方程 教案

§21.1一元整式方程
教学目标：
1．经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,知道含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，初步掌握它们的基本解法．
2．通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的思想．
3．在一元整式方程与高次方程的有关概念形成过程中，体会由特殊到一般研究问题的方法，感受类比的数学思想．
教学重点：含字母系数的一元一次（二次）方程的解法．
教学难点：对字母系数进行分类讨论．
教学过程：
教师活动
学生活动
教学设计意图
一、复习引入
问1：只含有_______ 且未知数__________ 的 _____方程叫一元一次方程．
问2：只含有_______ 且未知数__________的_____方程叫一元二次方程．
问3：判断下列方程哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
（1） x=false；
（2）3 x =12；
（3）4a2=16．
问4：根据下列问题列方程：
（1）买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；
（2）一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于2s（平方单位），求这个正方形的边长．
师：今天，我们在此基础上引入含有字母系数的一元一次方程和一元二次方程的解法．
二、含字母系数的一元一次方程和一元二次方程概念及解法．
观察比较：
上述方程 a x =12 (a是正整数)与 bx2=2s (b>0)之间有什么区别?
(一)概念：
含字母系数的方程叫做字母系数方程，这些字母叫做字母系数．
（二）含有条件的字母系数的解法．
例题1、解下列关于x的方程：
ax+b2=bx+a2 (a ≠b) ;
问1：解数字系数的一元一次方程的基本步骤是什么？
解： ax-bx= a2 - b2，
(a-b)x= a2 - b2，
∵a ≠b，∴a-b ≠0．
∴ x=false
x= a+b．
∴原方程的根是 x = a+b．
问2：解含字母系数的一元一次方程与数字系数的一元一次方程有什么区别？
(2) bx2=2s (b>0,s>0)
这道题你会解吗？
解：∵ b>0，
∴x2=false．
又∵s>0，∴false>0．
∴x=false
即x =false．
∴原方程的根是
xfalse=false， xfalse= -false．
解这类方程又要注意什么？
1）要通过简单的代数说理说明当方程两边同除以一个字母系数时，这个字母系数不等于零
2）如要实施开平方运算，要通过简单的代数说理说明被开方数大于等于零．
师：方程中是否所有字母系数都给定条件呢？
（三）没有条件的字母系数方程的解法．
例题2、解下列关于false或y的方程：
（1）false
解： 去括号 3ax-2x=6-2x
整理 3ax=6
问1：下面如何求解?
问2：这样做对吗？
问3：条件不确定怎么办？
当a≠0时， x=false
当a=0时， 原方程无解
∴ 当a≠0时, 原方程的根是x=false
当a=0时, 原方程无解
问4：本题和例1有何区别？
（2）false
解： bx2+ x2=1+1
(b+1)x2=2
∵ b≠-1,
∴ b+1≠0
∴ x2=false
问5：能直接开方吗？
当 b+1>0即 b>-1时,
x=false
当 b+1<0即 b<-1时,
原方程无实数根
∴, 当 b>-1时
原方程的根是
xfalse=false， xfalse= --false
当 b<-1时,原方程无实数根．
【适时小结】
通过例1和例2的学习，
1、如果方程中字母的条件给定，可通过简单的代数推理用以往的方法得到方程的根．
如字母条件不确定，需要分类讨
论．
课堂练习书P26/1
1、解下列关于false的方程：
(1)afalsey+y=1；
(2)(ax)false+4xfalse=1；
(3)b(x+3)=4；
(4)byfalse+1=2．
师：整式方程是否只有一元一次方程和一元二次方程?
三、一元整式方程
情景：如图有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱．设小正方形的边长为false分米，试根据题意列方程
解：x(10-x)2=48，
即xfalse-10xfalse+25x-12=0．
问1：这个方程叫什么方程?
问2：除了一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程,是否还有其它方程?
类比一元一次方程、一元二次方程归纳一元整式方程、高次方程概念及特征．


例题3 判断下列关于false的方程，哪些是整式方程?分别是一元几次方程?
(1)falsexfalse+afalsex-1=0；
(2) 4xfalse+81=0；
(3) 3a+2x=5x-false；
(4) false=false；
(5) false+x=afalse-2a-3；
(6) xfalse+7xfalse-8=0．
课堂练习2：书p26． 练习2
试写出两个一元整式方程，三个高次方程；再写一个项数（项为0除外）为2的一元四次方程.
*拓展： 书p26． 练习3
想一想：如果关于x的方程ax=b无解，那么实数a、b满足什么条件？
四、课堂小结
1．本节学习了哪些知识点，有何收获？
2．教师数学思想与方法上的小结：
（1）分类讨论的数学思想．
（2）从特殊到一般研究问题的方法．
五、布置作业
练习册21．1
预设：
答1：只含有1个未知数且未知数最高次数为1的整式方程．
答2：只含有1个未知数且未知数最高次数为2的整式方程．
答：（1）不是整式方程；
（2）是一元一次方程；
（3）是一元二次方程．
答：设练习本的单价为x元
a x =12( a是正整数)
答：设正方形边长为x
bx2=2s (b>0)
答：字母 a、b、s它们都表示已知数，x表示未知数
答1：
移项、
合并同类项、
系数化1．
答2：方程两边除以一个数时，这个除数不能为零，当这个数的表现形式是一个“式”时，要判断这个“式”是否为零．

学生解得： x=false
答：分类讨论
答：因为b+1的正负性不确定，所以要分类讨论
解： (afalse+1)y=1
∵false ∴ afalse+1>0
∴ y=false
∴原方程的根是 y=false
解： afalsexfalse+4xfalse=1
(afalse+4) xfalse=1
∵ afalse≥0，∴ afalse+4>0．
∴ xfalse=false．
∴ x=false．
∴ 原方程的根是
xfalse=false，xfalse= --false
解：bx+3b=4
bx=4-3b
当 b≠0时，x=false
当 b=0时, 原方程无解
∴当 b≠0时，原方程的根是 x=false
当 b=0时, 原方程无解
解： byfalse=1
当b>0时, yfalse=false
y=false
当b≤0时,原方程无实数根．
∴当b>0时,原方程的根是
xfalse=false， xfalse= --false．
当b≤0时,原方程无实数根．
答1：一元三次方程．
答2：一元四次方程．一元五次方程等．
1）如果一元整式方程中含未知数的项的最高次数是false(false是正整数),那么这个方程叫做一元false次方程;其中次数false大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程．
2）如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程．
答：方程（1）、（2）、（3）、（6）是整式方程；方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式．
（4）、（5）方程一边不是关于未知数的整式．
其中方程（1）是一元二次方程，
方程（2）是一元三次方程，
方程（3）是一元一次方程，
方程（6）是一元四次方程．
1．解含字母系数的方程时，如字母条件给定，可通过简单的代数推理用以往的方法解方程．如字母条件不确定，需分类讨论．
2．一元高次方程的特征：
(1)一个未知数；
（2）整式方程；
（3）最高次数大于2．
本节课内容是建立在学生已掌握一元一次方程和一元二次方程有关概念及解方程的基本方法和步骤基础上的．
所以先通过对一元一次方程和一元二次方程复习为本课的学习做好铺垫．
通过实际问题情境，让学生感受问题思考的现实意义．通过列方程的活动，引导学生认识含字母系数的一元一次方程、一元二次方程.ongguo
引导学生观察、比较概括概念．
引导学生区分方程中的未知数与字母系数．
让学生初步感知含字母系数的一元一次方程和一元二次方程的解法．
让学生运用“字母表示数”的思想．认识到含有条件的字母方程的解法和数字系数的方程一致，教师在教学过程中关注代数简单逻辑推理过程．
帮助学生学习如何对字母的取值进行分类讨论及完整表达解题过程．
教师在教学过程中要关注代数逻辑推理的过程．
引导学生归纳解含字母系数方程的一般步骤,明确注意事项,体会由特殊到一般,由一般到特殊的思想观点．体会分类讨论的数学思想．
巩固解含字母系数方程的方法．
通过学生讨论，认识高次方程的存在，感受到拓展方程类型的必要性．
要判断一个一元整式方程的次数，必须先对这个方程进行整理，然后以含未知数的项中这个未知数的最高次数为方程的“次数”．所以，一元false次方程是对一元整式方程合并“同类项”以后所得的方程而言．
巩固理解及掌握判别方法．
反馈及矫正．
根据学生实际情况选做．