沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.3 （1） 垂径定理 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.3 （1） 垂径定理 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 76.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-21 13:18:56 | ||
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文档简介
§27.3 （1） 垂径定理
教学目标：
1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；
2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：掌握垂径定理，能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学难点：对垂径定理的探索和证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件，圆形纸片
教学过程：
一、复习引入
师：什么是轴对称图形？
生：把一个图形沿着某一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
师：请你判断下列哪些图形是轴对称图形？
1143000
师：圆是轴对称图形吗？ 让我们来共同研究一下。
老师拿出事先准备好的圆形纸片，把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论。
生：圆是轴对称图形。
师：你知道它的对称轴是什么吗？
生：经过圆心的直线（它的直径）
师：哪位同学说的对呢？
生：对称轴是直线，而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线，或者是直径所在直线。
结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
观察并回答：
操作：我们在圆形纸片上把刚才的折痕描绘出来，标记为CD。在此纸片上再任意增加一条直径AB。
师：请问两条直径的位置关系是什么？
生：两条直径始终是互相平分的。
师：把直径AB向下平移，变成非直径的弦，直径CD是否一定平分弦AB？
生：不一定
099695377190099695194310099695
二、新课
1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？
2、得出猜想：当CD⊥AB时，弦AB会被直径CD平分。
师：思考：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD,将圆O沿CD对折，比较图中的线段和弧，你能发现有哪些相等的量？
（教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合。）
生：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
42291002540师：你能否说出使以上等量关系成立的条件，CD必须满足条件？
2657475101600⌒
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（板书） false
师：这些等量关系如果用文字语言来叙述的话，我们如何表述？
3886200495935生：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3．验证猜想：猜想是否正确，还有待于证明。
分析定理的题设和结论。
题设：圆的一条直径垂直于一条弦，
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
师：根据题设和结论，结合图形，写出已知、求证，并进行证明。
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC.
生：联接AO、BO，利用等腰三角形的三线合一可以得出AE=BE。
师：如何证明弧AD=弧BD，弧AC=弧BC呢？
生：由∠AOD=∠BOD，可以得出弧AD=弧BD，
由∠AOC=∠BOC，可以得出弧AC=弧BC.
师：这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理
垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3648075-407035师：用几何语言表达定理
120650060325
22225001270
① CD是⊙O的直径 ① AE=BE
1485900102235
2346325201295
2457450102235
245745020320② CD⊥AB ②
4、巩固定理：
2743200487045例1：在下列图形中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
42291005270513716005270538100-120015
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
5、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：
2628900635
1943100635
① 经过圆心 得到 ③ 平分弦
220027599060
一条直线具有：
② 垂直于弦 ④平分弦所对的弧
师：学习了“垂径定理”，接下来运用定理来解决一些具体问题
4743450194945三、巩固练习
例题2、如图，已知在⊙O中，
①弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则⊙O的半径为 .
②若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝16，DE=4，则AB＝
小结：解决与圆有关的计算问题，往往转化为由半径、
半弦、弦心距组成的直角三角形问题。
③ 若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于E，DE＝2，AE=4，则半径OA的长为
（设元）
师：在例2图形的基础上增加一个圆。
例3：已知：如图，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C、D两点。
313944039370120650038100求证：AC＝BD。
（图1） （图2）
小结：添加弦心距和联接半径是圆中常见的添加辅助线的方法。
变式（2）隐去（图1）中的大圆，得（图2）连接OA，OB，求证：AC＝BD
变式（3）隐去（图1）中的小圆，得（图3）连接OC，OD，需要添加什么条件，才能保证AC＝BD？
变式（4）再添加一个同心圆，得（图4）你能得到哪些相等的线段?
30861000342900198120
3790950201295（图3） （图4）
例4：如图，已知P是圆O内一点，画一条弦AB，
使AB经过点P，并且AP=BP.
四、小结
1、这节课我们学习了哪些内容？
42576752000252、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
19431000
26289000
经过圆心 ③平分弦
220027599060
一条直线具有：
② 垂直于弦 ④平分弦所对的弧
五、布置作业
1、练习册
2、思考：若将定理中的②与③互换，命题成立吗？
6858004556760若将定理中的①与④互换呢？②与④互换呢？
拓展：
1143004178301、某人荡秋千，秋千踏板在静止时离地0.3米，秋千荡起时，踏板摆动的最大水平距离（两最高点之间的距离）为8米。踏板离地的最大高度为1.3米。求秋千的绳长。
385762516510
2、如图，圆O中，弦AB‖CD，求证：AC=BD.
教学目标：
1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；
2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：掌握垂径定理，能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学难点：对垂径定理的探索和证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件，圆形纸片
教学过程：
一、复习引入
师：什么是轴对称图形？
生：把一个图形沿着某一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
师：请你判断下列哪些图形是轴对称图形？
1143000
师：圆是轴对称图形吗？ 让我们来共同研究一下。
老师拿出事先准备好的圆形纸片，把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论。
生：圆是轴对称图形。
师：你知道它的对称轴是什么吗？
生：经过圆心的直线（它的直径）
师：哪位同学说的对呢？
生：对称轴是直线，而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线，或者是直径所在直线。
结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
观察并回答：
操作：我们在圆形纸片上把刚才的折痕描绘出来，标记为CD。在此纸片上再任意增加一条直径AB。
师：请问两条直径的位置关系是什么？
生：两条直径始终是互相平分的。
师：把直径AB向下平移，变成非直径的弦，直径CD是否一定平分弦AB？
生：不一定
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二、新课
1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？
2、得出猜想：当CD⊥AB时，弦AB会被直径CD平分。
师：思考：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD,将圆O沿CD对折，比较图中的线段和弧，你能发现有哪些相等的量？
（教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合。）
生：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
42291002540师：你能否说出使以上等量关系成立的条件，CD必须满足条件？
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师：这些等量关系如果用文字语言来叙述的话，我们如何表述？
3886200495935生：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3．验证猜想：猜想是否正确，还有待于证明。
分析定理的题设和结论。
题设：圆的一条直径垂直于一条弦，
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
师：根据题设和结论，结合图形，写出已知、求证，并进行证明。
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC.
生：联接AO、BO，利用等腰三角形的三线合一可以得出AE=BE。
师：如何证明弧AD=弧BD，弧AC=弧BC呢？
生：由∠AOD=∠BOD，可以得出弧AD=弧BD，
由∠AOC=∠BOC，可以得出弧AC=弧BC.
师：这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理
垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3648075-407035师：用几何语言表达定理
120650060325
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① CD是⊙O的直径 ① AE=BE
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245745020320② CD⊥AB ②
4、巩固定理：
2743200487045例1：在下列图形中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
42291005270513716005270538100-120015
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
5、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：
2628900635
1943100635
① 经过圆心 得到 ③ 平分弦
220027599060
一条直线具有：
② 垂直于弦 ④平分弦所对的弧
师：学习了“垂径定理”，接下来运用定理来解决一些具体问题
4743450194945三、巩固练习
例题2、如图，已知在⊙O中，
①弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则⊙O的半径为 .
②若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝16，DE=4，则AB＝
小结：解决与圆有关的计算问题，往往转化为由半径、
半弦、弦心距组成的直角三角形问题。
③ 若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于E，DE＝2，AE=4，则半径OA的长为
（设元）
师：在例2图形的基础上增加一个圆。
例3：已知：如图，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C、D两点。
313944039370120650038100求证：AC＝BD。
（图1） （图2）
小结：添加弦心距和联接半径是圆中常见的添加辅助线的方法。
变式（2）隐去（图1）中的大圆，得（图2）连接OA，OB，求证：AC＝BD
变式（3）隐去（图1）中的小圆，得（图3）连接OC，OD，需要添加什么条件，才能保证AC＝BD？
变式（4）再添加一个同心圆，得（图4）你能得到哪些相等的线段?
30861000342900198120
3790950201295（图3） （图4）
例4：如图，已知P是圆O内一点，画一条弦AB，
使AB经过点P，并且AP=BP.
四、小结
1、这节课我们学习了哪些内容？
42576752000252、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
19431000
26289000
经过圆心 ③平分弦
220027599060
一条直线具有：
② 垂直于弦 ④平分弦所对的弧
五、布置作业
1、练习册
2、思考：若将定理中的②与③互换，命题成立吗？
6858004556760若将定理中的①与④互换呢？②与④互换呢？
拓展：
1143004178301、某人荡秋千，秋千踏板在静止时离地0.3米，秋千荡起时，踏板摆动的最大水平距离（两最高点之间的距离）为8米。踏板离地的最大高度为1.3米。求秋千的绳长。
385762516510
2、如图，圆O中，弦AB‖CD，求证：AC=BD.