沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.3 (1)垂径定理 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.3 (1)垂径定理 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 291.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-21 13:20:09 | ||
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内容文字预览
班级
九
学科
数学
教师
时间
课题
27.3(1)垂径定理
课型
新课
课时
1
教材分析
学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；
垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.
学情分析
本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.
教学目标
1．经历垂径定理的探索和证明过程，理解垂径定理；
2．能初步运用垂径定理解决有关数学问题；
3．在实际问题转化数学问题的过程中，感受方程的数学思想体会数学建模方法.
教学重点
垂径定理及其初步运用．
教学难点
实际问题数学化的过程．
教学准备
ppt、三角尺
教 学 设 计
教 学 内 容（含二次备课）
设计
意图
可能出现的问题与对策
教
学
过
程
引入：
展示赵州石拱桥的图片：一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米.你会求桥拱所在圆的半径长吗？带着这个问题我们进入今天的新课学习。
二、新课探究
（一）探索新知
1、观察：
将圆形纸片沿着直径所在的直线翻折， 能观察到什么？
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2、思考：
如图，false是⊙O的直径，false是⊙O的弦，且false，垂足为false，则图中有哪些相等的量？为什么？
2744470-480695答：线段false，false，false.
证明：分别联结false.
∵ false，false,
∴false,
false，
得false.
又∵CD是⊙O的直径,
∴ false,
即false，
∴false
给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径
3．归纳定理
我们得到了圆的一个性质定理：
垂径定理：
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（平分弦所对的优弧和劣弧）.
简述为：
垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧.
符号语言：
∵false过圆心0，false，
∴false，false（垂径定理）.
注意：结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧.将弧平分的点是这条弧的中点.
4．辨析：
看下列图形，是否能使用垂径定理？
归纳小结：
垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系”.
(二)例题示范：
2633980391795例题1：如图，已知，以点false为圆心的两个圆中，大圆的弦false交小圆于false两点.
求证： false.
证明：过点false作false于点false.
由垂径定理，得false，
同理：false，
∴false，
即false.
例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
83248551435
分析：
如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）
1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.
41986202400302、如何确定圆心的位置？
3、图中哪些表示圆O的半径？
4、如何建立等量关系？
解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R
根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=false
∵ OC⊥AB，且OC过圆心
∴ AD=falseAB=18.7
在Rt△AOD中，∠ADO=90°
∵ ADfalse+ODfalse=OAfalse
∴ 18.7false+false=false
false
答：桥拱所在圆的半径约为27.9米.
(三)、巩固练习
1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.
2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.
(四)、课堂小结
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
五、作业：
练习册：习题27.3（1）
知识点的归纳总结
检验学生知识点掌握程度
加强文字的理解，学会根据题意画出图形。
训练学生的灵活运用数学知识解决问题的能力
检验学生掌握情况
培养学生的归纳概括能力
课内诊断练习
与教学调整
1、在下列命题中，不正确的是（ ）
A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外
B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线
C.两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆外切
D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点
2、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、2为半径的圆必定（ ）
A.与x轴相离，与y轴相切 B.与x轴、y轴都相离
C.与x轴相切，与y轴相离 D.与x轴、y轴都相切
false的半径为5，圆心O到直线false的距离为3，则直线false与false的位置关系是
课后作业
练习册：习题27.3（1）
学生学习结果评价
课后
反思
垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.
九
学科
数学
教师
时间
课题
27.3(1)垂径定理
课型
新课
课时
1
教材分析
学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；
垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.
学情分析
本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.
教学目标
1．经历垂径定理的探索和证明过程，理解垂径定理；
2．能初步运用垂径定理解决有关数学问题；
3．在实际问题转化数学问题的过程中，感受方程的数学思想体会数学建模方法.
教学重点
垂径定理及其初步运用．
教学难点
实际问题数学化的过程．
教学准备
ppt、三角尺
教 学 设 计
教 学 内 容（含二次备课）
设计
意图
可能出现的问题与对策
教
学
过
程
引入：
展示赵州石拱桥的图片：一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米.你会求桥拱所在圆的半径长吗？带着这个问题我们进入今天的新课学习。
二、新课探究
（一）探索新知
1、观察：
将圆形纸片沿着直径所在的直线翻折， 能观察到什么？
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2、思考：
如图，false是⊙O的直径，false是⊙O的弦，且false，垂足为false，则图中有哪些相等的量？为什么？
2744470-480695答：线段false，false，false.
证明：分别联结false.
∵ false，false,
∴false,
false，
得false.
又∵CD是⊙O的直径,
∴ false,
即false，
∴false
给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径
3．归纳定理
我们得到了圆的一个性质定理：
垂径定理：
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（平分弦所对的优弧和劣弧）.
简述为：
垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧.
符号语言：
∵false过圆心0，false，
∴false，false（垂径定理）.
注意：结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧.将弧平分的点是这条弧的中点.
4．辨析：
看下列图形，是否能使用垂径定理？
归纳小结：
垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系”.
(二)例题示范：
2633980391795例题1：如图，已知，以点false为圆心的两个圆中，大圆的弦false交小圆于false两点.
求证： false.
证明：过点false作false于点false.
由垂径定理，得false，
同理：false，
∴false，
即false.
例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
83248551435
分析：
如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）
1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.
41986202400302、如何确定圆心的位置？
3、图中哪些表示圆O的半径？
4、如何建立等量关系？
解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R
根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=false
∵ OC⊥AB，且OC过圆心
∴ AD=falseAB=18.7
在Rt△AOD中，∠ADO=90°
∵ ADfalse+ODfalse=OAfalse
∴ 18.7false+false=false
false
答：桥拱所在圆的半径约为27.9米.
(三)、巩固练习
1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.
2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.
(四)、课堂小结
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
五、作业：
练习册：习题27.3（1）
知识点的归纳总结
检验学生知识点掌握程度
加强文字的理解，学会根据题意画出图形。
训练学生的灵活运用数学知识解决问题的能力
检验学生掌握情况
培养学生的归纳概括能力
课内诊断练习
与教学调整
1、在下列命题中，不正确的是（ ）
A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外
B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线
C.两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆外切
D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点
2、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、2为半径的圆必定（ ）
A.与x轴相离，与y轴相切 B.与x轴、y轴都相离
C.与x轴相切，与y轴相离 D.与x轴、y轴都相切
false的半径为5，圆心O到直线false的距离为3，则直线false与false的位置关系是
课后作业
练习册：习题27.3（1）
学生学习结果评价
课后
反思
垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.