沪教版（上海）数学七年级第二学期12.1《实数的概念》 教案

《实数的概念》教案
【教学目标】
通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知无理数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数轴上和有理数是稠密排列共存的。
通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
【教学重点】
对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。
【教学难点】
理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系
【教学过程设计】
复习引入
我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成false形式，其中对p、q有没有什么要求呢？（p、q为整数，p、q互素，且P不为0）。平时为了感受分数的大小，又能够将分数false化为有限小数或者无限循环小数。
特别的当P=1时，false可以表示一个整数。由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用false来表示。
问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成false（p、q为整数，且P不为0）的形式？
即：有没有不是有理数的数？
【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率false即是一个无限不循环小数。
二、新课讲授
【活动一】正方形剪拼，引出false。
我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是false，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。
问题1：新的这个正方形的面积是多少？（false）
问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为false，则可以得到false。以我们现有的有理数知识，我们不知道false的取值，我们暂且称它为false“根号2”）
这个false是我们拼成的面积为2的大正方形的边长，也是原来面积为1的小正方形的对角线长。（图示）
问题3：那么false究竟有多大呢？它到底是不是有理数呢？我们通过下面这个活动来解决这两个问题。
【活动二】在数轴上探究false的大小。
①首先我们知道1的平方是1，2的平方是4。所以false一定介于1与2之间（否认了它是整数）
②接下来我们取什么值与它比较？1.5的平方是2.25大于2，所以false小于1.5
③再接下来我们取什么值与它比较？1.4的平方是1.96小于2，所以false大于1.4
④我们再来做一组，1.42的平方是2.0164大于2，所以false小于1.42
【分析】如此往复下去我们知道我们是在取有理数去无限逼近这个false，我们能体会到它一定也是个无限小数，随着我们不断取有理数去逼近false，我们知道小数位上的数字呈无规律出现，并且小数位越多，就与false越贴近。因此它是一个无限且不循环的小数。
其实历史上早已经有人发现了这个问题：
阅读材料：2400多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕斯通过折纸问题发现了一个惊人的事实：以一个正方形的边长（一个有理数）为长度单位，去量这个正方形的对角线，这一对角线的长度不能用有理数来表示。希帕斯的发现揭示了我们之前学习的有理数是由缺陷的，即：我们的数轴上除了有理数之外还有间隙。这一发现当时震惊了整个学术世界。
【活动三】几何画板验证希帕斯发现
首先我们来利用现代的几何画板工具来验证希帕斯的发现是否正确。当我们正方形的边长取有理数值的时候，我们得到它的对角线的长度是一个无限不循环小数，不是我们熟悉的有理数。
【分析】运用我们学过的比例知识，我们知道正方形的边长和其对角线之比为1：false，当边长取有理数时，对角线总是它的false倍，所以结果一定是一个无限不循环小数。
我们将对角线的真实长度，在数轴以0为圆心截取出来，我们会发现这一点确实是一个在数轴上存在的点，结合我们刚才的逼近法可知。希帕斯所发现的无限不循环小数填补了我们数轴上有理数的空隙。每个无限不循环小数在数轴上都有一一对应的点，并且和有理数是紧密排列的。
【活动四】通过前面两个活动我们已经尝试用“两边夹法”和几何画板验证的方法尝试验证false是无限不循环小数，不是我们学过的有理数。接下来我们采用填空的形式，对false不是有理数加以数学论证。
填空：假设false是一个有理数，则它符合false形式，其中（p、q为整数，互素，且P不为0）
即：false=false，则falsep=q（等式性质），false①（等式两边同时平方）
由于false，如果把false看做两个整体，则false是一个偶数，又根据偶数的平方是个偶数，所以q为偶数。
令false，将其带入①中，我们可得false，即false，则false为偶数，false为偶数。
又因为false都为偶数，则它们必有公因数2，所以违反了p、q互素的条件，所以假设不成立，即false不是有理数。
问题4：能否再举些无限不循环小数的例子？（false、false、0.1011001100001……，等等）
【分析】三种类型，一个是带π的，一个是带根号且根号下的数字不是平方数的，还有一个是人造的。
概念形成
1、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.
※①无理数也有正、负之分（false）
②只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.（false）
2．实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
91440031115
※实数的分类
四、例题讲解
例题1：将下列各数填入适当的括号内：
0、-3、false、4、3.14159、false、false、false、π、0.3737737773….
有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；
正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；
非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜.
例题2：判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1) 无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数；
(3)正实数包括正有理数和正无理数； (4)实数可以分为正实数和负实数两类.
(5)任何无理数均可在数轴上找到一点来表示。 (6)数轴上任意找到的一点，一定是有理数。
例题3：能否举出一些值在3和4之间的无理数.
4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：
(1)false___________分数. (2) 0_____________有理数.
(3) 无限不循环小数_____________无理数.(4) 实数________________有理数和无理数.
(5) 正整数、0和负整数______________整数.
(6) 有理数________________有限小数或无限循环小数.
五、课堂小结
通过今天这节课，
（1）我们通过追寻先贤的足迹，认识了什么是无理数，并且对我们现有的数域进行了扩充。
（2）知道了实数由有理数和无理数构成。
（3）能够辨析有理数与无理数。