沪科版数学九年级下 24章 圆的有关概念及性质经典题型汇编（word含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学九年级下 24章 圆的有关概念及性质经典题型汇编（word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 148.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-21 13:28:22 | ||
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文档简介
1228090010706100沪科版九年级数学圆的有关概念及性质经典题型汇编
一、 选择题
1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法正确的是( )
A. AD＝2OB B. CE＝EO
C. ∠OCE＝40° D. ∠BOC＝2∠BAD
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B. 2 C. 6 D. 8
3.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是( )
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1
4.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为( )
A. 26π B. 13π C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为( )
A. B. 2 C. 2 D. 8
6.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A. 2米 B. 2.5米 C. 2.4米 D. 2.1米
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A. AB＝AD B. BC＝CD
C. ＝ D. ∠BCA＝∠DCA
8.如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上．如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A. 26° B. 30° C. 32° D. 64°
9.如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )
A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°
10. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A. 100° B. 110° C. 115° D. 120°
11. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
12.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的度数是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
13. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )
A. ∠ADC B. ∠ABD
C. ∠BAC D. ∠BAD
14.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为( )
A. 30° B. 50° C. 60° D. 70°
15. 如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC的度数为( )
A. 30° B. 29° C. 28° D. 20°
16. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为( )
A. 2 B. 1 C. D. 4
17.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC的度数为( )
A. 100° B. 112.5° C. 120° D. 135°
19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为( )
A. 55° B. 50° C. 45° D. 40°
20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为( )
A. 130° B. 100°
C. 65° D. 50°
21.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
22. 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
A. 2C. 23. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( )
A. AB，AC边上的中线的交点
B. AB，AC边上的垂直平分线的交点
C. AB，AC边上的高所在直线的交点
D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
24.过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( )
A. B. (4，3) C. D. (5，3)
25. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在△ABC的外部，下列选项叙述正确的是( )
A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
26.点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( )
A. 或2 B. 或2 C. 或2 D. 或2
27.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )
A. 5 B. C. 5 D. 5
28.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，＝＝，E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点．下列结论：① ∠BOE＝60°；② ∠CED＝∠DOB；③ DM⊥CE；④ CM＋DM的最小值是10.其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
二、 填空题
29.如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.
30. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．
31. 如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为 ，则正方形的边长为________．
32.在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为________．
33. 在半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2，则∠COD的度数为________．
34. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．
35. 在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝________．
36. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝120°，则∠ACB的度数为________．
37. 如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝________°.
38. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝________°.
39. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________°.
40. 如图，一块含45°角的直角三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为________．
41. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC垂直于AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD，CD，OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝________°.
42.如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是________°.
43.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝________°.
44.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为________．
45. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.
46.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，D是的中点，E是上的一点．若∠CED＝40°，则∠ADC＝________°.
47. 如图，AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM的度数为________．
48.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________.
49. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________．
50. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上．若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.
51. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若D是⊙O上异于A，B，C的另一点，则∠ADC的度数是________．
52. 如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
53.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则这个三角形的外接圆半径为________．
54. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为________．
55. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是________ .
三、 解答题
56. 如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，求证：AD＝BE.
57. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.
(1) 求证：四边形AECD为平行四边形；
(2) 连接CO，求证：CO平分∠BCE.
58.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1) 求证：DE＝DB；
(2) 若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
59.如图，⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC.
(1) 求证：△OAD∽△ABD；
(2) 当△OCD是直角三角形时，求B，C两点的距离．
60. 如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1) 求证：△APE是等腰直角三角形；
(2) 若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
61. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．
(1) 利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时点P的位置；(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 求PA＋PB的最小值．
62.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.
(1) 求证：△DOE∽△ABC.
(2) 求证：∠ODF＝∠BDE.
(3) 连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2.若＝，求sin A的值．
63.如图，△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1) 点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想β关于α的函数解析式，γ关于α的函数解析式，并给出证明；
(2) 若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的4倍，求⊙O的半径．
64. 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1) 如图①，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数和．
(2) 如图②，锐角三角形ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF.求证：四边形DBCF是半对角四边形．
(3) 如图③，在(2)的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
65. 如图，线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C(点C在线段BD上)，连接AC，DE.
(1) 当∠APB＝28°时，求∠B和的度数．
(2) 求证：AC＝AB.
(3) 在点P的运动过程中：
① 当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q.若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值．
② 记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G.当点G恰好落在MN上时，连接AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．
参考答案
一、 D B C B C B B C B B D B D C A A A B C C C B B A B D D C
二、 5 5 2 15°或105° 150°或30° 7或25 60° 20 25 58 90° 35 140 27 8 110 100 80° 70° 120° 60 60°或120° 5 1 (7，4)或(6，5)或(1，4)
三、 连接OC.∵ ＝，∴ ∠AOC＝∠BOC.∵ CD⊥OA，CE⊥OB，∴ ∠CDO＝∠CEO＝90°.在△COD与△COE中，∴ △COD≌△COE.∴ OD＝OE.∵ AO＝BO，∴ AD＝BE
(1) ∵ ＝，∴ ∠B＝∠E.∵ ∠B＝∠D，∴ ∠E＝∠D.∵ CE∥AD，∴ ∠D＋∠ECD＝180°.∴ ∠E＋∠ECD＝180°.∴ AE∥CD.∴ 四边形AECD为平行四边形
(2) 如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N.∵ 四边形AECD为平行四边形，∴ AD＝CE.又∵ AD＝BC，∴ CE＝CB.∴ OM＝ON.又∵ OM⊥BC，ON⊥CE，∴ CO平分∠BCE
(1) ∵ AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD.∵ ＝，∴ ∠DBC＝∠CAD.∴ ∠DBC＝∠BAE.∵ ∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，∴ ∠DBE＝∠DEB.∴ DE＝DB (2)连接CD.∵ AD平分∠BAC，∴ ＝.∴ CD＝BD＝4.∵ ∠BAC＝90°，∴ BC是直径．∴ ∠BDC＝90°.∴ 在Rt△BDC中，BC＝＝4.∴ △ABC外接圆的半径＝BC＝×4＝2
(1) 在△AOB和△AOC中，∴ △AOB≌△AOC.∴ ∠B＝∠C.∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠C.∴ ∠OAC＝∠B.∵ ∠ADO＝∠BDA，∴ △OAD∽△ABD
(2) 连接BC，则B，C两点的距离为BC的长．① 当∠ODC＝90°时，如图．∵ ∠ODC＝90°，∴ BD⊥AC.∵ OA＝OC，∴ AD＝DC.∴ BD是AC的垂直平分线．∴ AB＝BC.∵ AB＝AC，∴ AB＝BC＝AC.∴ △ABC是等边三角形．∴ ∠ACB＝60°.∴ ∠CBD＝30°.∴ BC＝2CD.∵ OB＝OC，∴ ∠CBD＝∠BCO＝30°，∠COD＝∠CBD＋∠BCO＝60°.∴ 在Rt△ODC中，∠OCD＝30°.∴ OD＝OC＝.∴ CD＝＝.∴ BC＝.② 当∠COD＝90°时，则∠BOC＝90°，OB＝OC＝1，∴ 在Rt△BOC中，BC＝＝.③ 当∠OCD＝90°时，AC⊥OC，即AC是⊙O的切线，与AC为⊙O的弦矛盾，此情况不成立．综上所述，当△OCD是直角三角形时，B，C两点的距离为 或
(1) ∵ AB＝AC，∠BAC＝90°，∴ ∠C＝∠ABC＝45°.∴ ∠AEP＝∠ABP＝45°.∵ PE是直径，∴ ∠PAE＝90°.∴ ∠APE＝∠AEP＝45°.∴ AP＝AE.∴ △APE是等腰直角三角形 (2) 如图，过点P作PM⊥AC于点M，作PN⊥AB于点N.∵ PM⊥AC，PN⊥AB，∠BAC＝90°，∴ 四边形PMAN是矩形．∴ PM＝AN.∵ △PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴ PC＝PM，PB＝PN.∴ PC2＋PB2＝2(PM2＋PN2)＝2(AN2＋PN2)＝2PA2＝PE2＝22＝4 点拨：也可以连接BE，先证明△ACP≌△ABE，得PC＝BE，从而在Rt△PBE中，PC2＋PB2＝BE2＋PB2＝PE2＝22＝4.
(1) 如图①，点P即为所求 (2) 如图②，由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′，OB，OA.∵ A′为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴ ∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°.又∵ B为的中点，∴ ＝.∴ ∠BON＝∠AOB＝∠AON＝×60°＝30°.∴ ∠A′OB＝∠A′ON＋∠BON＝60°＋30°＝90°.又∵ MN＝4，∴ OA′＝OB＝MN＝×4＝2.∴ 在 Rt△A′OB中，A′B＝＝2.∴ PA＋PB的最小值为2
(1) ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ DE⊥AB，∴ ∠DEO＝90°.∴ ∠DEO＝∠ACB.∵ OD∥BC，∴ ∠DOE＝∠ABC.∴ △DOE∽△ABC (2) ∵ △DOE∽△ABC，∴ ∠ODE＝∠A.∵ ∠A和∠BDC是所对的圆周角，∴ ∠A＝∠BDC.∴ ∠ODE＝∠BDC.∴ ∠ODF＝∠BDE (3) ∵ △DOE∽△ABC，∴ ＝＝，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1.∵ OA＝OB，∴ S△BOC＝S△ABC，即S△BOC＝2S1.∵ ＝，S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋ S1＋ S△DBE，∴ S△DBE＝S1.∴ BE＝OE，即OE＝OB＝OD.∴ sin A＝sin∠ODE＝＝
(1) β＝α＋90°，γ＝180°－α 连接CG.∵ AG是⊙O的直径，∴ ∠ACG＝90°.∵ DE垂直平分BC，∴ EB＝EC.∴ ∠EBC＝∠ECB.∵ D为弦BC的中点，∴ ∠BED＝∠CED.∵ ∠BAG＝∠BCG，∴ β＝∠BCG＋∠ACG＝∠BAG＋∠ACG＝α＋90°，即β＝α＋90°.∵ ∠ACG＝90°，∴ ∠ECG＝90°.∴ ∠ECD＋∠BCG＝90°.又∵ CD⊥DE，∴ ∠CED＋∠ECD＝90°.∴ ∠BCG＝∠CED.∴ ∠BEC＝2α.∴ γ＝∠EAG＋∠EBA＝∠BAG＋∠EAB＋∠EBA＝∠BAG＋(180°－2α)＝180°－α.∴ γ＝180°－α (2) ∵ γ＝135°，∴ α＝45°，β＝135°.∴ ∠ECB＝∠EBC＝45°.∴ △ECB 为等腰直角三角形．又∵ CD＝3，BC＝6，∴ CE＝BE＝3.∵ △ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴ AE∶AC＝4∶1.∴ AE＝4.在Rt△ABE中，AB＝＝5.连接BG，∵ AG是⊙O的直径，∴ ∠ABG＝90°.∴ 在Rt△ABG中，∠BAG＝α＝45°.∴ AG＝AB＝10.∴ ⊙O的半径为5
(1) ∵ 在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∴ 3∠B＋3∠C＝360°.∴ ∠B＋∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120° (2) 在△BED和△BEO中，∴ △BED≌△BEO.∴ ∠BDE＝∠BOE.∵ ∠BCF＝∠BOE，∴ ∠BCF＝∠BDE.连接OC，如图①，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α.∴ ∠EFC＝180°－∠AFE＝180°－2α.∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA＝α.∴ ∠AOC＝180°－∠OAC－∠OCA＝180°－2α.∴ ∠ABC＝∠AOC＝∠EFC.∴ 四边形DBCF是半对角四边形 (3) 如图②，过点O作OM⊥BC于点M.∵ 四边形DBCF是半对角四边形，∴ ∠ABC＋∠ACB＝120°.∴ ∠BAC＝60°.∴ ∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵ OB＝OC，∴ ∠OBC＝∠OCB＝30°.∴ BC＝2BM＝BO＝BD.∵ DG⊥OB，∴ ∠HGB＝∠BAC＝60°.∵ ∠DBG＝∠CBA，∴ △DBG∽△CBA.∴ ＝＝.∵ DH＝BG，BG＝2HG，∴ DG＝3HG.∴ ＝.∴ ＝
(1) ∵ MN⊥AB，AM＝BM，∴ PA＝PB.∴ ∠PAB＝∠B.∵ ∠APB＝28°，∴ ∠B＝76°.连接MD，则MD为△PAB的中位线，∴ MD∥AP.∴ ∠MDB＝∠APB＝28°.∴ 的度数＝2∠MDB＝56° (2) ∵ ∠BAC＝∠MDC＝∠APB，∠BAP＝180°－∠APB－∠B，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴ ∠BAP＝∠ACB.∵ ∠BAP＝∠B，∴ ∠ACB＝∠B.∴ AC＝AB (3) ① 如图①，记MP与圆的另一个交点为R.∵ MD是Rt△MBP的中线，∴ DM＝DP.∴ ∠DPM＝∠DMP＝∠RCD.∴ RC＝RP.∵ ∠ACR＝∠AMR＝90°，∴ AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2.∴ 12＋MR2＝22＋PR2，即12＋(4－PR)2＝22＋PR2，解得PR＝.∴ MR＝.情况1：当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴ Q与R重合．∴ MQ＝MR＝.情况2：如图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，PQ＝2PR＝，∴ MQ＝.情况3：如图③，当∠QDC＝90°时，∵ BM＝1，MP＝4，∴ BP＝.∴ DP＝BP＝.∵ cos∠MPB＝＝，∴ PQ＝.∴ MQ＝.情况4：如图④，当∠AEQ＝90°时，由对称性可得∠AEQ＝∠BDQ＝90°，∴ MQ＝.综上所述，MQ的值为或或 ② △ACG和△DEG的面积之比为
一、 选择题
1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法正确的是( )
A. AD＝2OB B. CE＝EO
C. ∠OCE＝40° D. ∠BOC＝2∠BAD
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B. 2 C. 6 D. 8
3.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是( )
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1
4.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为( )
A. 26π B. 13π C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为( )
A. B. 2 C. 2 D. 8
6.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A. 2米 B. 2.5米 C. 2.4米 D. 2.1米
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A. AB＝AD B. BC＝CD
C. ＝ D. ∠BCA＝∠DCA
8.如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上．如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A. 26° B. 30° C. 32° D. 64°
9.如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )
A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°
10. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A. 100° B. 110° C. 115° D. 120°
11. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
12.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的度数是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
13. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )
A. ∠ADC B. ∠ABD
C. ∠BAC D. ∠BAD
14.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为( )
A. 30° B. 50° C. 60° D. 70°
15. 如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC的度数为( )
A. 30° B. 29° C. 28° D. 20°
16. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为( )
A. 2 B. 1 C. D. 4
17.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC的度数为( )
A. 100° B. 112.5° C. 120° D. 135°
19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为( )
A. 55° B. 50° C. 45° D. 40°
20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为( )
A. 130° B. 100°
C. 65° D. 50°
21.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
22. 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
A. 2
A. AB，AC边上的中线的交点
B. AB，AC边上的垂直平分线的交点
C. AB，AC边上的高所在直线的交点
D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
24.过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( )
A. B. (4，3) C. D. (5，3)
25. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在△ABC的外部，下列选项叙述正确的是( )
A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
26.点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( )
A. 或2 B. 或2 C. 或2 D. 或2
27.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )
A. 5 B. C. 5 D. 5
28.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，＝＝，E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点．下列结论：① ∠BOE＝60°；② ∠CED＝∠DOB；③ DM⊥CE；④ CM＋DM的最小值是10.其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
二、 填空题
29.如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.
30. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．
31. 如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为 ，则正方形的边长为________．
32.在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为________．
33. 在半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2，则∠COD的度数为________．
34. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．
35. 在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝________．
36. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝120°，则∠ACB的度数为________．
37. 如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝________°.
38. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝________°.
39. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________°.
40. 如图，一块含45°角的直角三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为________．
41. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC垂直于AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD，CD，OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝________°.
42.如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是________°.
43.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝________°.
44.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为________．
45. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.
46.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，D是的中点，E是上的一点．若∠CED＝40°，则∠ADC＝________°.
47. 如图，AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM的度数为________．
48.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________.
49. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________．
50. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上．若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.
51. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若D是⊙O上异于A，B，C的另一点，则∠ADC的度数是________．
52. 如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
53.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则这个三角形的外接圆半径为________．
54. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为________．
55. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是________ .
三、 解答题
56. 如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，求证：AD＝BE.
57. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.
(1) 求证：四边形AECD为平行四边形；
(2) 连接CO，求证：CO平分∠BCE.
58.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1) 求证：DE＝DB；
(2) 若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
59.如图，⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC.
(1) 求证：△OAD∽△ABD；
(2) 当△OCD是直角三角形时，求B，C两点的距离．
60. 如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1) 求证：△APE是等腰直角三角形；
(2) 若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
61. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．
(1) 利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时点P的位置；(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 求PA＋PB的最小值．
62.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.
(1) 求证：△DOE∽△ABC.
(2) 求证：∠ODF＝∠BDE.
(3) 连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2.若＝，求sin A的值．
63.如图，△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1) 点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想β关于α的函数解析式，γ关于α的函数解析式，并给出证明；
(2) 若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的4倍，求⊙O的半径．
64. 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1) 如图①，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数和．
(2) 如图②，锐角三角形ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF.求证：四边形DBCF是半对角四边形．
(3) 如图③，在(2)的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
65. 如图，线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C(点C在线段BD上)，连接AC，DE.
(1) 当∠APB＝28°时，求∠B和的度数．
(2) 求证：AC＝AB.
(3) 在点P的运动过程中：
① 当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q.若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值．
② 记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G.当点G恰好落在MN上时，连接AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．
参考答案
一、 D B C B C B B C B B D B D C A A A B C C C B B A B D D C
二、 5 5 2 15°或105° 150°或30° 7或25 60° 20 25 58 90° 35 140 27 8 110 100 80° 70° 120° 60 60°或120° 5 1 (7，4)或(6，5)或(1，4)
三、 连接OC.∵ ＝，∴ ∠AOC＝∠BOC.∵ CD⊥OA，CE⊥OB，∴ ∠CDO＝∠CEO＝90°.在△COD与△COE中，∴ △COD≌△COE.∴ OD＝OE.∵ AO＝BO，∴ AD＝BE
(1) ∵ ＝，∴ ∠B＝∠E.∵ ∠B＝∠D，∴ ∠E＝∠D.∵ CE∥AD，∴ ∠D＋∠ECD＝180°.∴ ∠E＋∠ECD＝180°.∴ AE∥CD.∴ 四边形AECD为平行四边形
(2) 如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N.∵ 四边形AECD为平行四边形，∴ AD＝CE.又∵ AD＝BC，∴ CE＝CB.∴ OM＝ON.又∵ OM⊥BC，ON⊥CE，∴ CO平分∠BCE
(1) ∵ AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD.∵ ＝，∴ ∠DBC＝∠CAD.∴ ∠DBC＝∠BAE.∵ ∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，∴ ∠DBE＝∠DEB.∴ DE＝DB (2)连接CD.∵ AD平分∠BAC，∴ ＝.∴ CD＝BD＝4.∵ ∠BAC＝90°，∴ BC是直径．∴ ∠BDC＝90°.∴ 在Rt△BDC中，BC＝＝4.∴ △ABC外接圆的半径＝BC＝×4＝2
(1) 在△AOB和△AOC中，∴ △AOB≌△AOC.∴ ∠B＝∠C.∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠C.∴ ∠OAC＝∠B.∵ ∠ADO＝∠BDA，∴ △OAD∽△ABD
(2) 连接BC，则B，C两点的距离为BC的长．① 当∠ODC＝90°时，如图．∵ ∠ODC＝90°，∴ BD⊥AC.∵ OA＝OC，∴ AD＝DC.∴ BD是AC的垂直平分线．∴ AB＝BC.∵ AB＝AC，∴ AB＝BC＝AC.∴ △ABC是等边三角形．∴ ∠ACB＝60°.∴ ∠CBD＝30°.∴ BC＝2CD.∵ OB＝OC，∴ ∠CBD＝∠BCO＝30°，∠COD＝∠CBD＋∠BCO＝60°.∴ 在Rt△ODC中，∠OCD＝30°.∴ OD＝OC＝.∴ CD＝＝.∴ BC＝.② 当∠COD＝90°时，则∠BOC＝90°，OB＝OC＝1，∴ 在Rt△BOC中，BC＝＝.③ 当∠OCD＝90°时，AC⊥OC，即AC是⊙O的切线，与AC为⊙O的弦矛盾，此情况不成立．综上所述，当△OCD是直角三角形时，B，C两点的距离为 或
(1) ∵ AB＝AC，∠BAC＝90°，∴ ∠C＝∠ABC＝45°.∴ ∠AEP＝∠ABP＝45°.∵ PE是直径，∴ ∠PAE＝90°.∴ ∠APE＝∠AEP＝45°.∴ AP＝AE.∴ △APE是等腰直角三角形 (2) 如图，过点P作PM⊥AC于点M，作PN⊥AB于点N.∵ PM⊥AC，PN⊥AB，∠BAC＝90°，∴ 四边形PMAN是矩形．∴ PM＝AN.∵ △PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴ PC＝PM，PB＝PN.∴ PC2＋PB2＝2(PM2＋PN2)＝2(AN2＋PN2)＝2PA2＝PE2＝22＝4 点拨：也可以连接BE，先证明△ACP≌△ABE，得PC＝BE，从而在Rt△PBE中，PC2＋PB2＝BE2＋PB2＝PE2＝22＝4.
(1) 如图①，点P即为所求 (2) 如图②，由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′，OB，OA.∵ A′为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴ ∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°.又∵ B为的中点，∴ ＝.∴ ∠BON＝∠AOB＝∠AON＝×60°＝30°.∴ ∠A′OB＝∠A′ON＋∠BON＝60°＋30°＝90°.又∵ MN＝4，∴ OA′＝OB＝MN＝×4＝2.∴ 在 Rt△A′OB中，A′B＝＝2.∴ PA＋PB的最小值为2
(1) ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ DE⊥AB，∴ ∠DEO＝90°.∴ ∠DEO＝∠ACB.∵ OD∥BC，∴ ∠DOE＝∠ABC.∴ △DOE∽△ABC (2) ∵ △DOE∽△ABC，∴ ∠ODE＝∠A.∵ ∠A和∠BDC是所对的圆周角，∴ ∠A＝∠BDC.∴ ∠ODE＝∠BDC.∴ ∠ODF＝∠BDE (3) ∵ △DOE∽△ABC，∴ ＝＝，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1.∵ OA＝OB，∴ S△BOC＝S△ABC，即S△BOC＝2S1.∵ ＝，S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋ S1＋ S△DBE，∴ S△DBE＝S1.∴ BE＝OE，即OE＝OB＝OD.∴ sin A＝sin∠ODE＝＝
(1) β＝α＋90°，γ＝180°－α 连接CG.∵ AG是⊙O的直径，∴ ∠ACG＝90°.∵ DE垂直平分BC，∴ EB＝EC.∴ ∠EBC＝∠ECB.∵ D为弦BC的中点，∴ ∠BED＝∠CED.∵ ∠BAG＝∠BCG，∴ β＝∠BCG＋∠ACG＝∠BAG＋∠ACG＝α＋90°，即β＝α＋90°.∵ ∠ACG＝90°，∴ ∠ECG＝90°.∴ ∠ECD＋∠BCG＝90°.又∵ CD⊥DE，∴ ∠CED＋∠ECD＝90°.∴ ∠BCG＝∠CED.∴ ∠BEC＝2α.∴ γ＝∠EAG＋∠EBA＝∠BAG＋∠EAB＋∠EBA＝∠BAG＋(180°－2α)＝180°－α.∴ γ＝180°－α (2) ∵ γ＝135°，∴ α＝45°，β＝135°.∴ ∠ECB＝∠EBC＝45°.∴ △ECB 为等腰直角三角形．又∵ CD＝3，BC＝6，∴ CE＝BE＝3.∵ △ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴ AE∶AC＝4∶1.∴ AE＝4.在Rt△ABE中，AB＝＝5.连接BG，∵ AG是⊙O的直径，∴ ∠ABG＝90°.∴ 在Rt△ABG中，∠BAG＝α＝45°.∴ AG＝AB＝10.∴ ⊙O的半径为5
(1) ∵ 在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∴ 3∠B＋3∠C＝360°.∴ ∠B＋∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120° (2) 在△BED和△BEO中，∴ △BED≌△BEO.∴ ∠BDE＝∠BOE.∵ ∠BCF＝∠BOE，∴ ∠BCF＝∠BDE.连接OC，如图①，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α.∴ ∠EFC＝180°－∠AFE＝180°－2α.∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA＝α.∴ ∠AOC＝180°－∠OAC－∠OCA＝180°－2α.∴ ∠ABC＝∠AOC＝∠EFC.∴ 四边形DBCF是半对角四边形 (3) 如图②，过点O作OM⊥BC于点M.∵ 四边形DBCF是半对角四边形，∴ ∠ABC＋∠ACB＝120°.∴ ∠BAC＝60°.∴ ∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵ OB＝OC，∴ ∠OBC＝∠OCB＝30°.∴ BC＝2BM＝BO＝BD.∵ DG⊥OB，∴ ∠HGB＝∠BAC＝60°.∵ ∠DBG＝∠CBA，∴ △DBG∽△CBA.∴ ＝＝.∵ DH＝BG，BG＝2HG，∴ DG＝3HG.∴ ＝.∴ ＝
(1) ∵ MN⊥AB，AM＝BM，∴ PA＝PB.∴ ∠PAB＝∠B.∵ ∠APB＝28°，∴ ∠B＝76°.连接MD，则MD为△PAB的中位线，∴ MD∥AP.∴ ∠MDB＝∠APB＝28°.∴ 的度数＝2∠MDB＝56° (2) ∵ ∠BAC＝∠MDC＝∠APB，∠BAP＝180°－∠APB－∠B，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴ ∠BAP＝∠ACB.∵ ∠BAP＝∠B，∴ ∠ACB＝∠B.∴ AC＝AB (3) ① 如图①，记MP与圆的另一个交点为R.∵ MD是Rt△MBP的中线，∴ DM＝DP.∴ ∠DPM＝∠DMP＝∠RCD.∴ RC＝RP.∵ ∠ACR＝∠AMR＝90°，∴ AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2.∴ 12＋MR2＝22＋PR2，即12＋(4－PR)2＝22＋PR2，解得PR＝.∴ MR＝.情况1：当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴ Q与R重合．∴ MQ＝MR＝.情况2：如图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，PQ＝2PR＝，∴ MQ＝.情况3：如图③，当∠QDC＝90°时，∵ BM＝1，MP＝4，∴ BP＝.∴ DP＝BP＝.∵ cos∠MPB＝＝，∴ PQ＝.∴ MQ＝.情况4：如图④，当∠AEQ＝90°时，由对称性可得∠AEQ＝∠BDQ＝90°，∴ MQ＝.综上所述，MQ的值为或或 ② △ACG和△DEG的面积之比为