人教版九年级下册数学 27.2.2相似三角形的性质 同步测试（Word版 含解析）

27.2.2相似三角形的性质 同步测试
一．选择题
1．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．2：1 D．9：1
2．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）
A． B． C．1 D．2
3．如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
4．如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
6．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．4：3 D．4：7
7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC＝3，则DF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝3，则点F到BC的距离为（　　）
A．3 B．2 C． D．
10．如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
二．填空题
11．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD，CE交于点F，若∠1＝∠B，则＝　 　．
12．如图，已如AB＝AC＝DE，D为BC延长线上一点，过D作DE⊥BC于E交AC于F，若AB＝m，AF＝n，则AE+EF　 　（用含m，n的式子表示）．
13．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AD，点E为AB的中点，DE交AC于点F．若AB＝，AC＝，BC＝1，则AF的长为　 　．
14．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若BC＝12，＝，求线段BE的长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，BE，CD交于点G．
（1）求证：＝；
（2）连接DE，求证：DE＝CE；
（3）若CD⊥AB，AD＝2，BD＝3，求线段EG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，
∴两相似三角形的相似比为1：3，
∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，
故选：A．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD?CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1?（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD，
∵E为OD的中点，
∴DE＝EO＝DO，
∴BO＝2EO，BE＝3DE，
∵DF∥AB，
∴△DFE∽△BAE，
∴＝（）2＝，
设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，
∵BO＝2OE，
∴S△AOB＝6x＝S△DOC，
∴四边形EFCO的面积＝5x，
∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF+∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝＝，
故选：D．
6．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，
∵DH∥BF，
∴＝，
∵BD：CD＝1：2，
∴CD：BC＝2：3，
∴BF＝DH，
∵DH∥AF，
∴＝＝2，
∴AF＝2DH，
∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，
∴AF：AB＝4：7．
故选：D．
7．解：如图，连接BD，
∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，
∴△AEF∽△BEA，
∴＝，
∵AE＝ED，
∴＝，
又∵∠FED＝∠DEB，
∴△FED∽△DEB，
∴∠EFD＝∠EDB，
∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，
∴∠DFC＝∠ODC，
∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DFC＝∠OCD，
∴DF＝DC，
在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴AF＝FC＝，
∴AB＝＝＝3，
∴DF＝3，
故选：B．
8．解：∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴，
故选：A．
9．解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD：AB＝AG：AC，
∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠ADG＝∠B，
∴DG∥BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG，
∴FH⊥BC，AN⊥DG，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BM＝BC＝6，
∴AM＝＝＝8，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN＝2，
∴MN＝AM﹣AN＝6，
∴FH＝MN﹣GF＝6﹣3＝3，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确，
∵OA∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a，
∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵∠1＝∠B，
而∠CAE＝∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AE?AB，
∵CE是△ABC的中线，
∴AE＝AB，
∴AC2＝AE?AB＝AB2，
∴AC＝AB，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAF，
而∠B＝∠1，
∴△ABD∽△ACF，
∴＝＝＝．
故答案为．
12．解：过F点作FH∥AB交BD于H，
∴△DFH∽△DEB，∠B＝∠FHC，
设AE＝x，EF＝y，则x2+y2＝n2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠FHC＝∠ACB，
∴FH＝FC＝m﹣n，
∵△DFH∽△DEB，
∴＝，
∵AB＝AC＝DE，AB＝m，AF＝n，
∴＝，
∴m（m﹣n）＝（m﹣EF）（m﹣AE），
即m2﹣mn＝m2﹣m（AE+EF）+AE×EF，
∵DE⊥BC，
∴∠DEA＝90°，
∴n2＝AE2+EF2，
∵（AE+EF）2＝AE2+2AE×EF+EF2＝n2+2AE×EF，
∴AE×EF＝[（AE+EF）2﹣n2]，
∴m2﹣mn＝m2﹣m（AE+EF）+[（AE+EF）2﹣n2]，
∴（AE+EF）2﹣2m（AE+EF）+2mn﹣n2＝0，
（AE+EF﹣n）（AE+EF﹣2m+n）＝0，
∴AE+EF＝n，AE+EF＝2m﹣n，
∵AE+EF＝n时，AE+EF＝（n2﹣n2）＝0，不合题意舍去，
∴AE+EF＝2m﹣n．
故答案为：＝2m﹣n．
13．解：在△ACB中，AB＝，AC＝，BC＝1，
∴（）2＝（）2+12，
∴△ACB是直角三角形，即∠ACB＝90°，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB（AA），
∴＝，即＝，
解得AD＝，
∵点E为AB的中点，
∴AE＝CE＝AB＝，
∴∠ACE＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠CAD，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴△FCE∽△FAD（AA），
∴＝＝＝，
∴AF＝AC＝．
故答案为：．
14．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，
∵CA＝CB，AB＝AE，
∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴∠C＝∠BAE，
∴2∠AEB+∠C＝180°，
又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC＝，
∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，
∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，
∴△CDN∽△CAM，
∴，
∴，
∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），
故答案为：12．
15．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴ME＝PE，
∴AE是MP是中垂线，
∴MO＝OP，
又∵OE⊥MP，
∴∠MOE＝∠POE，
同理可证∠POF＝∠NOF，
∵∠POE+∠POF＝∠EOF＝90°，
∴∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF＝180°，
∴点M，点O，点N三点共线，
故⑤正确，
故答案为①②③⑤．
三．解答题
16．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴，
解得：BE＝4．
17．解：（1）△BAP∽△CPD，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，
又∵∠APD＝∠B，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△BAP∽△CPD；
（2）∵PD∥AB，
∴∠APD＝∠BAP，
又∵∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBA，
∴，
∴，
∴BP＝．
18．证明：（1）∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACD，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠AED＝∠ACD+∠CDE，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，
∴∠ACD+∠CDE＝∠ABE+∠CBE，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠CDE＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CDE＝∠ABE＝∠ACD，
∴DE＝CE；
（3）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠CDE+∠ADE＝90°，
∵∠ABE＝∠ACD，∠CDE＝∠ACD，
∴∠A＝∠ADE，∠BEC＝∠ABE+∠A＝∠A+∠ACD＝90°，
∴AE＝DE，BE⊥AC，
∵DE＝CE，
∴AE＝DE＝CE，
∴AB＝BC，
∵AD＝2，BD＝3，
∴BC＝AB＝AD+BD＝5，
在Rt△BDC中，CD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝2，
∴DE＝AE＝CE＝，
∵∠ADC＝∠GEC＝90°，∠ACD＝∠GCE，
∴△CGE∽△CAD，
∴，
∴GE＝＝＝．