河北省易县中学2020-2021学年高一12月月考数学试题 Word版含答案

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河北易县中学高一年级2020-2021学年第一学期12月考试
高一数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，且过点，则函数的图像必过点（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
5．下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的单调增区间是（ ）．
A． B． C． D．
8．终边在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知集合，，且，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0 E.-2
10．设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．关于函数的性质描述，正确的是 （ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图象关于轴对称
12．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若集合，，则实数的取值范围是______.
14．关于的不等式的所有整数解的绝对值之和为45,则实数的取值范围是________.
15．已知定义在上的奇函数，当时，，则使得成立的的取值范围为__________．
16．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）若，求的值.
（2）计算：.
18．已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若求实数的取值范围
19．已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求和的值；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
20．“大数据”时代的到来，人工智能的应用已在各个领域内得到了认可与大力推广，人工智能AI教育也相应在北京、上海等大城市普及、某教育总公司开发了一款专门针对于中小学语数英教学的应用程序，据研究发现，题库总量(单位：万，)与成本(单位：万元)的关系由两部分构成：
①固定成本：总计万元；
②浮动成本：万元.
(1)该公司题库总量为多少时，可使得每题的平均成本费用最低?最低费用为多少?
(2)公司将该软件投放市场寻求加盟合作伙伴，加盟费为万元，加盟人数与题库量满足一次关系，已知当题库量为万时，此时加盟人数为，公司总利润(单位：万元)达到最大值.试求、的值.(注：总利润＝加盟费-成本).
21．已知函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域和值域；
（3）判断函数的奇偶性并证明.
22．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2) 在区间的最大值；
(3)解关于的不等式..
河北易县中学高一年级2020-2021学年第一学期12月考试
高一数学试卷参考答案
1．B 【解析】 由题意得，集合， 所以，故选B.
2．B【解析】由全称命题与特称命题的关系，易知选项B正确.
3．D【详解】∵函数，且过点，
，则函数，令，求得，
可得函数的图象必过，故选：D．
4．D【详解】A选项，当时，不成立，故A选项错误；
B选项，当时，，故B选项错误；
C选项，当时，，故C选项错误；
D选项，若，，则，即，故D正确．故选：D.
D【详解】A，令y＝f（x）＝x（x﹣1），f（﹣x）＝x（x+1），
﹣f（x）＝﹣x（x﹣1）＝x（1﹣x），不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不为奇函数；
B，y＝f（x）x，f（﹣x）x，﹣f（x）=x不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不为奇函数；
C，y＝f（x）＝x满足f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，又x=时，y＝3+=，x=时，y＝2+=，即，但，所以不满足在（0，1）上是增函数；
D，y＝f（x）＝2x（x≠0）满足f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且在（0，1）递增，符合题意；故选：D．
6．D【解析】，故选D.
7．A【解析】∵∴，∴，
当时，根据二次函数性质得：单调递增，
当时，单调递减，∴在上单调递增，
故答案为：．
8．B【详解】在[0，2π]内终边在直线上的角为和，
则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ，k∈Z}，
即{α|α＝kπ，k∈Z}，故选B．
9．ABD【详解】因为，所以，.
当时，，符合题意；当时，，所以或，解得或．所以m的值为1或-1或0．故选ABD．
10．AD【详解】对于A选项，由，为正实数，且，可得，所以，
所以，若，则，可得，这与矛盾，故成立，所以A中命题为真命题；
对于B选项，取，，则，但，所以B中命题为假命题；
对于C选项，取，，则，但，所以C中命题为假命题；
对于D选项，由，则，
即，可得，所以D中命题为真命题. 故选AD.
11．AB【详解】对于A中，由，解得即为函数的定义域，故A正确；
对于B中，由定义域可化简函数得，当时，；当时，，所以，故B正确；
对于C中，因为，所以函数不是增函数，故C错误；
对于D中，因为定义域关于原点对称，且对任意，，所以函数是奇函数，故 D 错误， 故选：AB.
12．ABC【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，
将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：
则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，
，故C正确；
对于D，由，解得，由于，则，故D错误；
故选：ABC
13．【详解】，或或或．
①由，解得，时，，满足条件．
②若，解得，可得，解得，因此，不可能等于．
③时，解得，若，则（不成立），舍去．
综上可得：实数的取值范围为．故答案为：．
14．【详解】即
①当时，的两根为，且，不等式的解集为，简单列举符合的整数解有2,3,4,5,6,7,8,9,10……不管怎么取，所有整数解的和都不会取到45，故不成立 ②当时，不等式无解
③当时，不等式的解集为，简单列举符合的整数解有：0，-1，-2，-3，-4，
-5，-6，-7，-8，-9……，此时，符合题意
故当时，时，整数解的绝对值和为：45,故。
【解析】当时，在单调递增，又因为定义在上的奇函数，所以单调递增，由，所以，得。填。
16．
【解析】
因为f(a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，所以原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．
又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2.
17．（1）；（2）3.
【详解】
（1）∵，∴
原式原式
（2）原式
18．(1) ； (2) ； (3).
【详解】由解得.
（1）当时，，所以.
（2）当时，，符合.
当时，根据得，解得.综上所述，的取值范围是.
（3）当时，，符合.
当时，或，解得.
综上所述，的取值范围是.
19．（1）；（2）
【详解】（1）关于的不等式的解集为，即，为方程的两解，所以解得
（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，即恒成立，
①当时，不等式恒成立，此时
②当时，，
因为，所以，所以
当且仅当时，即，即时取等号，所以，综上
(1) 公司题库总量为万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为元/道
(2) ，
【详解】
(1)由题意可知成本，∴，
根据对勾函数的单调性可知该函数在递减，递增，
所以当时，取最小值为．
故该公司题库总量为万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为元/道；
（2）依题意可知．
当时，取最大值，∴，解得：．
又，解得：．综上所述，，．
21．（1）1；（2）定义域为，值域为；（3）是奇函数，证明见详解.
【详解】
（1）由题意知，解得.
（2）因为.
∵，∴，∴的定义域为.
∵，∴，∴的值域为.
（3）函数是奇函数. 证明如下：∵的定义域为，关于原点对称，
且，∴是奇函数，即证.
22．（1）奇函数，证明见解析；（2）6；（3）见解析.
【详解】（1）取，则；则；
取，则，对任意恒成立
为奇函数；
（2）任取，且，则；
；，
又为奇函数；在上是减函数；
对任意，，恒有，而，；
在，上的最大值为6；
（3）为奇函数，整理原式得；
即；而在上是减函数，
；．
当时，；
当时，且；
当时，；
当时，或；
当时，或.