人教版六年级上册第五单元“圆的认识”教学设计

《圆的认识》教学设计
【教学内容】
义务教育数学教科书人教版教材六年级上册57-58页第五单元“圆的认识”。
【教学目标】
1.使学生学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，掌握圆的特征，并理解和掌握在同一个圆（或等圆）里半径和直径的关系；
2.以套环活动为依托，让学生通过观察、操作、猜想、验证等探究活动，经历抽象圆的过程，感悟并理解圆的本质特征，渗透极限思想，提升学生合情推理的能力，发展学生的空间观念；
3.在探究活动中体会数学来源于现实，感受数学与生活的密切联系；在感悟“一中同长、圆出于方”的过程中感受数学文化的魅力，培养学生良好的数学情感。
【教学重、难点】
在活动中，自主建构圆的特征模型；对半径、直径概念模型的描述
【教具学具】
圆规、三角板、目标点、圆环若干、米桶、软尺+附加尺、信封（调好的圆规）、学习单、正方形纸
【教学过程】
一、活动调取经验，建构圆的生活模型，感知圆的特征
（一）活动引入，引发冲突
师：今天这节课我们玩一个套环游戏，下面请4位同学上台（快速选人）一字排开，面向目标点，看谁套的准。
师：对于这样的站位，你们有话要说吗？
生：不公平，边上的同学距离的太远。
师：有远有近不公平，怎么站位才公平？
生：站成正方形
师：4位在站位时候，注意匀称美观
（二）通过活动操作，明确顶点到中心点的距离相等
生重新站位
师：这样公平了吗？
生：恩
师：为什么要这样站？
生：这样站，每位同学到目标点的距离就相等了。
师：但是这样随便一站，每位同学到目标点的距离就一定相等？
生：可能有的近，有的远
师：怎样才能保证每位同学到目标点的距离都相等？
生：用尺子量
师：老师这里有一根软尺，谁能帮忙定一下距离
生上台定距离
师：他在定距离的时候你想提醒他什么？
生：尺子要拉直
师：为什么？
生：如果不拉直，距离就不一样了
师：还有吗？
预设1：
生：放平
预设2：
生：……
师：如果一会这样，一会这样行吗？（演示）
生：放平
师：拉直、放平都是为了保证每位同学到目标点的距离相等。
师：定距离时脚尖与尺子末端重齐
生操作
对定距离的同学点评：很严谨、速度也很快（掌声）
师：几位同学站位均匀使我们马上联想到了什么图形？
生：正方形
师：如果再上来一位同学，还能均匀站位吗？两位呢？你又分别想到了什么图形？
生：正五边形
生：正六边形
师：先1位同学上，抓紧时间距离。
生定距离
师：公平吗？
生：公平
师：你上（拉一位同学上）。
师：依然均匀站位。（示意定距离的同学）
师：这六位同学到目标点的距离相等吗？
生：相等
师：如果上来12个，你又想到了正几边形？
生：正12边形
师：32个人全部上来呢？
生：正32边形
师：同学们，有序快速的上！
待学生站定
师：要保证游戏公平，必须满足什么条件？
生：每位同学到目标点的距离相等
师：你看，不管是正几边形，虽然它们大小、形状各不相同，但它们却都有一个共同点。
生：每位同学到目标点的距离相等
师：目标点，可以用一个更能突出它特点的词来代替吗？（引出‘中心点’）
生：中心点
师：谁能更加完整清晰的描述？
生：每位同学到中心点的距离相等
【核心素养（模型）渗透点：以“套环游戏”为活动支撑，层层递进，学生在这一环节的活动中经历了三次不同的站位。
从开始一字排开站位，学生就发现不公平——开始第一次自主建构活动模型。引导学生在活动中反思模型不规范，从而寻求解问题的策略——用尺子。引导学生思考尺子要“拉直、放平”，从而有了第二次修正模型的经验。在这一活动中，学生分别经历了活动模型的建构与修正。以保证每位同学到目标桶的距离相等，为学生积累具体的感知经验，也是为“任意一点到中心点的距离相等”、半径、直径等模型的建立打基础、做铺垫。】
【学科德育（思维严谨）渗透点：在此环节中提出一系列的问题：“对于这样的站位，你们有话要说吗？”“怎么站位才公平？” “这样随便一站就公平？”“怎样才能保证每位同学到目标点的距离都相等？”用尺子量，如何才能量的规范，也就是 “在定距离的时候应该注意什么？”并对修正后的生活模型进行不断变化处理，由4人、5人、6人、12人、32人不同站位，让学生感受到不管人数如何变化，每人到中心点距离相等，并随人数越来越多，定距离的难度越来，为下一环节的圆的出现做足够的经验支撑，有种呼之欲出的感觉，在正多边形的演变中学生更深刻的感悟到图形的内在联系和规律，并在后面的教学中渗透了极限思想，培养了学生严谨细致和辩证统一的个性品质。
学生在活动中感悟、创造、并适时表达自己的想法。严谨、规范具体测量不同人数的站位，在活动中引导学生用数学的眼光看问题、思考问题，从而培养学生严谨细致、严肃认真的思维品质。】
二、激发潜在经验，构建圆的数学模型
（一）猜想圆
师：上！（指定距离的同学）
待生操作3-4个
师：停！同学们，现在是30个同学了，他得定多少次啊？
生：30次
师：如果现在有100个呢？
师：他岂不更辛苦？
师：有没有这样一个万能的图形，不论是4个、5个、6个，还是12、32甚至更多，我们都只需站在这一个图形上，就能公平的完成比赛？
生：圆形
（停顿……）
师：他说是圆形，你同意吗？
生：同意。
（二）验证圆
师：这是同学们的猜想、直觉，在数学学习中，有了大胆的猜想和直觉，我们还要进一步验证。那我们现场画一个，看到底是什么图形？
师操作，要保证每位同学到中心点的距离相等，尺子要拉直、放平
师：开始！1位、2位3位、4位、5位、6位、7、8、9、10……！哇！出现了一个什么图形？
师:请同学们都轻轻的站在这个圆上，我们32位同学到中心点的距离都相等吗？
生：相等
师：如果在上来3个、5个，甚至更多，同学到中心点的距离相等吗？
生：相等
师：刚才是谁想到的这个办法
生：……
师：（表扬评价）咱同学解决了一个不断定距离的难题，为自己鼓掌。
（三）感受圆
师：如果让这位同学（拥一个同学入圆内）站圆内，你想说什么？
生：不公平，距离中心点近；
师：如果让他站圆外行吗？
生：离中心点远了
师：站圆外远，站圆内近，只有站在圆上，才能不偏不倚，距离相等。
【核心素养（推理、抽象）渗透点：学生在上一环节经历了一系列的观察、分析、综合和比较活动后，对不同类正多边形的特点不论是从感官还是语言表达，都已经有了足够的经验支撑，在此我抛出问题‘那有没有一个万能的图形，不论是4个、5个、6个、还是12、32甚至更多，我们都只需要站在这一个图形上，就能公平的完成比赛？’至此，抽象的圆的模型借助直观的活动和图形变换，已经在学生的头脑中建立起来了，并且圆很多隐含的特征，也伴随着圆的模型的建构过程，而悄悄的生根发芽。为了验证学生的观点，也是为了强化学生对圆本质特征的感悟，我们进行了现场画图。现场画出的圆形，进一步验证了学生头脑中的模型，并且使其显性化、具体化。不仅为下一步的投掷活动提供了站位标准。更重要的作用在于借助显性的具体的活动，为接下来的诸多更加抽象的特征模型的建构积累了经验，提供了形象支撑。】
【学科德育（思维严谨、数学审美）渗透点：从最初的活动开始到最终的模型建立，学生在整个过程中边体验，边感悟，边质疑，边反思，空间思维也在静静地生长。当圆第一次呈现在同学们面前的时候，孩子们表现出了惊叹的声音“哇！神奇”，这就是建模潜移默化中传递给学生的数学审美、追求完美的思维品质。】
三、实践拓展经验，建构圆的特征模型
（一）半径决定圆的大小
师：如果这位同学就站圆外，还得游戏公平，怎么办？
生：其它同学也往后退，站在一个更大的圆上
师：其它同学要以这位同学距圆心的距离为标准，站在一个更大的圆上。
师：站吧。
师快速的划一周
师：现在咱同学又站在了一个新的圆上，看来这根尺子很重要。
师：谁知道这根尺子在圆中叫什么？
生：半径
师：如果半径足够长，不停的画下去，可以画出多少个圆？
生：无数个
师：在画圆的过程中，谁在变？
生：尺长（半径）在变、圆的大小在变
师：你认为，谁决定圆的大小？
生：半径决定圆的大小
师：半径决定圆的大小
（二）圆心决定位置
师：如果现在把中心点放这儿，要想游戏公平，你这个圆该怎么办？
生：也往这挪动
师：为了保证整齐，我们手拉手一起动
师：放这儿呢？（生动）
师：你的圆又挪这了
师：放操场上！
生：跑操场上
师：在操场上，依然站这样一个圆形
师：在这个过程中，谁变了？
生：中心点位置变了，圆的位置变了
师：是谁决定了圆的位置？
生：中心点决定圆的位置
师：这个中心点如此重要，谁知道在圆中，它叫什么？
生：圆心
师：因此，我们也可以说‘圆心决定圆的位置’
师：我们就再把圆心定回原位置，刚才的大圆消失了，我们站在这个小圆上（生动）完成我们完美的一投！
学生全投掷，归位。
和投中者击掌
【核心素养（模型）渗透点：在突破“圆心决定位置，半径决定大小”的时候，摆脱常态的圆规画圆处理方式，而是把这样两个概念借助活动来完成。学生借助形象的活动支撑，在活动中体验，在体验中观察，在观察中思考，在思考中建构。正是现实情境与数学知识的完美融合，才使得‘半径决定大小，圆心决定位置’这一高度抽象的概念难点，被学生轻而易举的突破，从而顺利建构圆的特征模型】
四、回顾反思经验，梳理圆的模型
（一）感受图形演变，渗透极限思想
师：现在我们回顾一下整个的站位过程。我们由不同的站位，分别想到了正方形、正五边形、正六边形，还有正12边形，想象一下正12边形是什么样子，它的边又是什么样？正32边形又是什么样？（ppt），随着正多边形边数的逐渐增加，你又有怎样的感觉？
生：点越来越多
生：越来越像圆形
师：这只是正100边形，如果是正1000、10000、1亿，一直到正无数边形，会怎么样？
生：会变成圆
师：在无数个正多边形的演变过程中，才最终形成了圆，这就是数学上的极限思想。
【学科德育（思维严谨）渗透点：回顾活动过程，对站位中的正方形、正五边形、正六边形、正十二边形、正三十二边形进行对比观察，在正多边形的演变中学生更深刻的感悟到图形的变化特点，学生的一句“越来越圆”便道出了自己的感知，从而渗透了极限思想，培养了学生严谨细致和辩证统一的个性品质。】
（二）教师示范画圆
示范画圆
师：这么完美的一个曲线图形，老师用圆规画一个怎么样？！（师黑板画圆）
师：针尖做圆的什么？
生：圆心
师：两脚间的距离呢？（手势指）
生：半径
师：如果老师画的好，就给点掌声。
（三）汇报交流，梳理圆的特征模型
师：在整个活动过程中，我们似乎感觉到这个再熟悉不过的圆形，好像有好多好多的特点，你都感觉到了圆形的哪些特征，它又有哪些重要的点和线，请你以小组为单位，沟通并记录下来。
小组合作在学习记录单上记录
小组汇报交流
生：圆是曲线图形，圆上有无数个点到圆心的距离相等。
师：圆上有无数个点到中心点的距离，这是圆的基本特征，其实早在2000多年前，我们古人就高度概括了圆的基本特征说：“圆，一中同长也”。一中什么意思？
生：一个中心点
生：指圆心
师：同长呢？
生：圆有无数个点到圆心的距离相等
师：“一中同长”四个字高度概括了圆的基本特征，和咱同学今天总结的圆有无数个点到中心点的距离相等有异曲同工之妙。
生：圆心，是圆的中心，决定了圆的位置；（板书）
生：半径，决定了圆的大小，有无数条，相等；（板书）
师：对于他们组的汇报，其他小组还有补充吗？
生：直径，无数条，相等，直径是半径的2倍。
师：谁能上台画出这个圆的半径和直径
生：上台画
师：你会画半径、直径，那谁能说一说什么叫半径、什么叫直径
生：……
师：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径
生：……
师：经过圆心，两端都在圆上的线段叫直径
师：在活动及汇报交流中，我们提炼出了圆的基本特征——一中同长，还知道了圆各部分名称及特点。
师：这个圆的半径和这个圆的半径相等吗？
生：在同一个圆中
师：对，必须是在同一个圆中或相等的圆中（板书），这就是这节课我们所学习的“圆的认识”（板书）
【核心素养（模型）渗透点：在圆的概念的形成过程中，已经为半径、直径的特点积累了相关的活动经验，在建构圆的特征相关模型的过程中，伴随着半径、直径概念模型的生成。圆特征的模型建构，依托不断变化的套环活动，水到渠成，自然出炉，而相伴而生的学生都已意会的半径、直径的概念表述，因受限于学生思维表达能力，却成了学习过程中的难点。虽然概念模型的表述有难度，但正因为有了现实情境为背景，丰富的活动体验做积累，同学们最终还是自己顺利突破了这一难点。】
【学科德育（数学审美）渗透点：这一环节渗透了圆“一中同长”的特征，在让学生感受到‘一中同长’模型简洁美的同时，又领略了中国古文化的魅力。】
五、融合应用经验，内化圆的系列模型
（一）学生画圆，感受特征
师：现在有没有想画一个圆的冲动
生：想
师：谁能说一说，在画圆时应该注意什么？
生：圆心不能乱动；两脚间的距离也不能动
师：为了保证两不变，我们的手应该放在顶端（演示）。
师：请带着同学和老师的提醒，自己画一个圆
生操做
师：请把圆规推一边。
师：刚才我看有同学画的很好，有同学画的就不那么完美，看来仅仅知道方法还不够，还得进一步熟练技巧。
（二）画规定的圆
师：下面我们以小组为单位，按老师的要求画一个圆，这次看你又会有怎样的收获？
要求：每个小组都有一张同样规格的正方形纸，在不看其它小组的前提下，能否画出一个和其它小组“位置一样，大小一样”的圆。
师：先想一想，再操作
小组合作，甄别展示（符合要求的2-3个、画小了的1个）
师：怎么确定的圆心？
生：（对折之后找到交点，这个交点就是圆心。）
师：同意吗？这个正方形平面上点有无数个，但中心点却只有一个。
师：再来看大小，（指画小的小组）为什么这样画？
生：……
师：（画对的）这个小组怎么想的？
生：只能画最大
师：也就是说，以这个中心点为圆心画圆，能画出无数个，但却只有一个是可以确定的，就是保证最大。
师：（小结）我们在团队合作时，一定要分析对方如何思考，这样才能知己知彼，达到共赢。
（三）圆出于方
师：（ppt方圆）这个正方形和圆形有共同的中心点（ppt），并且这个最大圆的直径恰恰等于正方形的边长（ppt）。看来两者之间一定存在某种关系。
师：早在2000多年前，我们古人就借助正方形研究过圆，中国古代的一部数学著作《周髀算经》中就有“圆出于方”的记载，随着同学们学习的越来越多，会有更深入的了解。
师：今天的数学课就到这，下课！
【核心素养（推理）渗透点：这一环节的意义不仅在于培养学生基本的操作能力，更是锻炼学生的推理能力，同时也在渗透“圆出于方”的思想，也是在验证学生对圆这一模型的理解程度，只有学生真正掌握了圆及其相关特征，才能在这一应用环节，经过思考分析完成这一任务。事实上，多数小组能在5分钟内完成，也就是说本课建模活动的设计是有效的，学生对于自己独立建构的诸多圆的特征模型已经得到内化和掌握，空间想象力也得到一定发展。】
【学科德育（数学审美）渗透点：这一环节渗透“方中有圆”，在让学生感受数学图形的美妙与内在的联系，为后面的学习新知奠定情感基础。】
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