一轮复习：直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
考点一直线与椭圆的位置关系
[题组练透]
若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取
值范围是
(D)
A.(1,+∞)
B.(0,+∞)
C.(0,1)∪(1,5)
D.[1,5)∪(S,+∞)
解析:由于直线y=kx+1恒过点(0,1),
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上,
则0<≤1且m≠5,
故m≥1且m≠5
2.已知直线l:y=2+m,椭圆C:4+,=1试问当m取
何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组
2x+m
+=1
②
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0③
方程③根的判别式A=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+14.
(1)当A>0,即-32数根,可知原方程组有两组不同的实数解
这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点
(2)当A=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,
可知原方程组有两组相同的实数解
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与
椭圆C有且只有一个公共点
(3)当A<0,即m<一32或m>32时,方程③没有实数根,
可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点
[名师微点]
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其
直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数
(2对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部
或椭圆上判定直线和椭圆有交点
考点二弦长问题[师生共研过关]
[典例精析]
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2+
B
b
1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦
点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直
线AB的斜率为0时,MABl=4
(1)求椭圆的方程;
48
(2)若AB|+CD
求直线AB的方程
[解](1)由题意知e
又a2=b2+c2,解得a=2,b=3,
所以椭圆方程为A+
3
[解题技法]
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离
公式求解
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交
于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形
式有如下几种
①AB=1+k2ux1-x2l;
②AB=1+y1-y2(k≠0);
③AB=(1+k)(x1+x23-4xl
④AB|=
+2|(1+y2)2-4yuy2l