12.3角平分线的性质同步测试题（一）（含解析）

角平分线的性质同步测试题（一）
一．选择题
1．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　）
A．135° B．120° C．90° D．60°
2．如图，点M在射线OA上，点N在射线OB上，芳芳在直线MN上求作一点P，使它到OA、OB的距离相等，则点P是（　　）
A．线段MN的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与MN的中垂线的交点
D．MN与∠AOB的平分线的交点
3．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（　　）P点到∠AOB两边距离之和．
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
5．三角形中，到三边距离相等的点是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
6．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
7．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
8．现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 （　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
9．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
10．四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段AB，CD相交于点P”画出图形（2）；丙同学读语句“点P在直线l上，点Q在直线l外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（　　）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
二．填空题
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若DC＝2，则点D到线段AB的距离等于　 　．
12．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为　 　cm2．
13．如图，AD∥BC，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，HG＝5，则AD与BC之间的距离是　 　．
14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于　 　．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交边AC于点D，CD＝4，△ABD的面积为10，则AB的长是　 　．
三．解答题
16．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，求AB与CD之间的距离．
17．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
18．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC．
求证：∠PCB+∠BAP＝180°．
19．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE＝EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC＝12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：
∵O到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∵∠A＝60°，
∴∠OBC+∠OCB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
2．【解答】解：∵点M在射线OA上，点N在射线OB上，芳芳在直线MN上求作一点P，使它到OA、OB的距离相等，
∴点P是直线MN与∠AOB的平分线的交点．
故选：D．
3．【解答】解：
过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
则∠PED＝∠PFD＝90°，
所以PC＞PE，PD＞PF，
∴PC+PD＞PE+PF，
即CD大于P点到∠AOB两边距离之和，
故选：B．
4．【解答】解：
过D作DE⊥AB于E，
∵点D到边AB的距离为6，
∴DE＝6，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
∵CD＝DB，
∴DB＝12，
∴BC＝6+12＝18，
故选：C．
5．【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
6．【解答】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，
∴×4x＝2，
解得：x＝1．
∴点O到BC的距离为1．
故选：A．
7．【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
8．【解答】解：∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选：C．
9．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选：D．
10．【解答】解：观察图形可知，图形（1）、图形（2）、图形（3）；都符合要求；
图形（4）点N在线段AB的延长线上，点M在线段AB的反向延长线上，不符合要求．
故画的不正确的是丁同学．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝2，
∴DE＝DC＝2，
即点D到线段AB的距离等于2，
故答案为：2．
12．【解答】解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，
∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，
∴PF＝PG＝PE＝3，
∵S△BPC＝7.5，
∴BC3＝7.5，
解得BC＝5，
∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+AC+BC＝14，
∴AB+AC＝9，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP
＝（AB+AC﹣BC）×3
＝×（9﹣5）×3
＝6（cm2）．
故答案为：6．
13．【解答】解：过点G作GF⊥BC于F，交AD于E，
∵AD∥BC，GF⊥BC，
∴GE⊥AD，
∵AG是∠BAD的平分线，GE⊥AD，GH⊥AB，
∴GE＝GH＝5，
∵BG是∠ABC的平分线，FG⊥BC，GH⊥AB，
∴GF＝GE＝5，
∴EF＝GF+GE＝10，
故答案为：10．
14．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∴△ADC的面积＝ACDF＝×7×4＝14．
故答案为：14．
15．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝4，
∵△ABD的面积＝ABDE＝×AB×4＝10，
∴AB＝5．
故答案为：5．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，
∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，
∴OE＝OF，OE＝OG，
∴OE＝OF＝OG＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠EOF+∠EOG＝（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）＝180°，
∴F、O、G三点共线，
∴AB与CD之间的距离＝OF+OG＝2+2＝4．
17．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
18．【解答】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，
∵∠1＝∠2，PF⊥BC于F，
∴PE＝PF，∠PEA＝∠PFB＝90°，
在Rt△PEA与Rt△PFC中，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PAE＝∠PCB，
∵∠BAP+∠PAE＝180°，
∴∠PCB+∠BAP＝180°．
19．【解答】解：（1）OF＝CF．
理由：∵BE＝EO，
∴∠EBO＝∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC＝∠OCB＝∠OCF，
∴OF＝CF；
（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，
∴ON＝OM＝4cm，
∴S△OBC＝BCOM＝×12×4＝24（cm2）．