13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习 (含答案)

人教版数学八年级上册 第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质
同步练习
一、选择题
1. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）

A．AB=AD B．AC平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是(　　)
　
A．PB＞PC B．PB＝PC
C．PB＜PC D．PB＝2PC
3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是(　　)
A．∠ADC＝45° B．∠DAC＝45°
C．BD＝AD D．BD＝DC
4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB
5. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
6. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，若AD=4，BC=3DC，则BC等于 (　　)
A.4 B.4.5 C.5 D.6
7. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点．又分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是 (　　)
A．CD⊥直线l B．点A，B关于直线CD对称
C．点C，D关于直线l对称 D．CD平分∠ACB
8. 如图，在false中，false，分别以点false和点false为圆心，大于false的长为半径作弧，两弧相交于false两点，作直线false交false于点false，交false于点false，连接false．若false，false，则false的长为(　　)

A．false B．false C．false D．false
9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为(　　)
A．8???? ? B．11??????? C．16????? D．17
10. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
11. 如下图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，则BC=　　　　．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分∠BAC，则∠B度数为　　　　　　.
13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．
14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．
15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．
三、解答题
16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.

17. 如图，已知△ABC.
(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;
(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.

18. 如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．
19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG的周长为16，GE=3，求AC的长.
20. 如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB
对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.
（1）求线段QM、QN的长；
（2）求线段QR的长．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.
（1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是　　　　　　.
（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.
22. 如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC
的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；
（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．
人教版数学八年级上册 第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质
同步练习--参考答案
一、选择题
1. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）

A．AB=AD B．AC平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
【答案】C
2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是(　　)
　
A．PB＞PC B．PB＝PC
C．PB＜PC D．PB＝2PC
【答案】B　[解析] 如图，连接AP.
∵线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，∴AP＝PB，AP＝PC.∴PB＝PC.

3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是(　　)
A．∠ADC＝45° B．∠DAC＝45°
C．BD＝AD D．BD＝DC
【答案】D　[解析] ∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，故C正确；∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝22.5°.∴∠ADC＝45°，故A正确；
∠DAC＝90°－∠ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.
4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB
【答案】C　[解析] ∵PA+PB=BC，而PC+PB=BC，∴PA=PC.
∴点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.
5. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
6. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，若AD=4，BC=3DC，则BC等于 (　　)
A.4 B.4.5 C.5 D.6
【答案】D　[解析] ∵DE垂直平分AB，AD=4，∴BD=AD=4.
∵BC=3DC，∴BD=2CD.∴CD=2.∴BC=BD+CD=6.故选D.
7. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点．又分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是 (　　)
A．CD⊥直线l B．点A，B关于直线CD对称
C．点C，D关于直线l对称 D．CD平分∠ACB
【答案】C　[解析] 由作法可知CD垂直平分AB，故选项A，B正确；
∵CD垂直平分AB，∴CA＝CB.
设CD与AB交于点G，易证Rt△ACG≌Rt△BCG，∴∠ACG＝∠BCG，
即CD平分∠ACB，故选项D正确；
∵AB不一定平分CD，故选项C错误．故选C.
由线段垂直平分线的性质可得PA＝PB，但不能得到OP＝OF.
8. 如图，在false中，false，分别以点false和点false为圆心，大于false的长为半径作弧，两弧相交于false两点，作直线false交false于点false，交false于点false，连接false．若false，false，则false的长为(　　)

A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【解析】由作法得false垂直平分false，∴false，false，false，
∵false，∴false，∴false，∴false为斜边false上的中线，
∵false，∴false．故选A．
9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为(　　)
A．8???? ? B．11??????? C．16????? D．17
【答案】答案为：B.
10. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A
二、填空题
11. 如下图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，则BC=　　　　．
【答案】10cm
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分∠BAC，则∠B度数为　　　　　　.
【答案】答案为：30°
13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．
【答案】13　【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∵AE＋EC＝8，∴EC＋BE＝8，∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.
14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．
【答案】5　
15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．
【答案】3　[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.
∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.
∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.
∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.
三、解答题
16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.
【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.
17. 如图，已知△ABC.
(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;
(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.
【答案】
解:(1)如图所示.
(2)证明:如图，连接OA.
∵l1是AB的垂直平分线，∴OA=OB.
同理，OA=OC.∴OB=OC.
18. 如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．
【答案】
解：∵BD＝DC，AD⊥BE，∴AB＝AC.
∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.
∵△ABC的周长是22 cm，
∴AC＋AB＋BD＋CD＝22 cm.
∴AC＋CD＝11 cm.
∴DE＝CD＋CE＝CD＋AC＝11 cm.
19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG的周长为16，GE=3，求AC的长.
【答案】
解:∵DE垂直平分线段AB，GF垂直平分线段BC，
∴EB=EA，GB=GC.
∵△BEG的周长为16，∴EB+GB+GE=16.
∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16.
∴AC+2GE=16.
∵GE=3，∴AC=10.
20. 如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB
对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.
（1）求线段QM、QN的长；
（2）求线段QR的长．
【答案】【解答】解：（1）∵P，Q关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PQ，∴MQ＝MP＝4，
∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1.
（2）∵P，R关于OB对称，∴OB垂直平分线段PR，
∴NR＝NP＝4，∴QR＝QN+NR＝1+4＝5.
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.
（1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是　　　　　　.
（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.
【答案】解：(1) 50
(2) ①∵MN垂直平分AB.
∴NB=NA，
又∵△NBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.?
②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，
最小值是14cm.
22. 如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC
的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；
（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．
【答案】【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（3）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20.