人教版数学九年级上册 第21章 21.2降次-解一元二次方程同步测试试题（一）（Word版 含解析）

降次-解一元二次方程同步测试试题（一）
一．选择题
1．关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x﹣2，下面说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
2．若关于x的方程ax2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．3x2﹣6x+3＝0 B．3x2+x﹣6＝0 C．x2﹣5x+10＝0 D．3x2+9x＝0
4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤1 B．m＜1 C．m≥1 D．m＞1
5．已知x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＜0 C．x1x2＞0 D．x1＞0，x2＜0
6．若关于x的方程x2+px+q＝0有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．p2﹣4q＞0 B．p2﹣4q≥0 C．p2+4q＞0 D．p2+4q≥0
7．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（　　）
A．6 B．7 C． D．
9．若整数a既使得关于x的分式方程﹣2＝有非负数解，又使得关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，则符合条件的所有a的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．一元二次方程3x2﹣2x+1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实根数
C．只有一个实数根 D．没有实数根
二．填空题
11．已知α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为　 　．
12．已知关于x的一元二次方程2mx2﹣4x+1﹣5n＝0有两个相等的实数根，则+5n的值为　 　．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为　 　．
14．已知等腰三角形的一边长6，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的底边长为　 　．
15．对于实数a，b，定义新运算“?”：a?b＝；若关于x的方程（2x+1）?（x﹣1）＝t恰好有两个不相等的实根，则t的值为　 　．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
17．解方程：
（1）﹣＝1；
（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于9，求m的值．
19．小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如x2＝a（a为常数）的这类方程．
（1）小天先尝试解了下面两个方程：
①x2＝1，解得x＝1或x＝﹣1； ②x2＝﹣1，此方程无实数解．
方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数；
方程②无实数解的依据是：　 　；
（2）小天进一步探究了解方程③和④：
③3x2＝21；
解：x2＝7．
x＝或x＝﹣．
④（x+2）2＝9．
解：x+2＝3或x+2＝﹣3．
x＝1或x＝﹣5．
请你参考小天的方法，解下列两个方程：
⑤2x2﹣72＝0；
⑥（x﹣1）2＝5．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：方程化为x2﹣3x+5＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×5＝﹣11＜0，
∴方程无实数根．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意得a≠0且△＝（﹣1）2﹣4×a×2＞0，
解得a＜且a≠0．
故选：A．
3．【解答】解：A、△＝（﹣6）2﹣4×3×3＝0，方程有两个相等的两个实数根；
B、△＝12﹣4×3×（﹣6）＝73＞0，方程有两个相等的两个实数根；
C、△＝（﹣5）2﹣4×10＝﹣15＜0，方程没有实数根；
D、△＝92﹣4×3×0＝81＞0，方程有两个相等的两个实数根．
故选：A．
4．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1．
故选：A．
5．【解答】解：根据题意得△＝m2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
∵x1x2＝﹣1＜0，
∴x1、x2异号．
故选：A．
6．【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝p2﹣4q＞0，
故选：A．
7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，
解得，m＝2．
故选：C．
8．【解答】解：设矩形的长和宽分别为m、n，
根据题意知m+n＝7，mn＝8，
则矩形对角线的长为
＝
＝
＝，
故选：D．
9．【解答】解：解﹣2＝得，x＝﹣，
∵分式方程﹣2＝有非负数解，
∴﹣≥0且x﹣1＝﹣﹣1≠0
∴a≤﹣1且a≠﹣4，
∵关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，
∴△＝1﹣4（a+6）＜0，
解得，a＞﹣5，
综上，﹣5＜x≤﹣1且a≠﹣4，
∵a为整数，
∴a＝﹣5或﹣3或﹣2或﹣1，
故选：D．
10．【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×3×1＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，
∴α2﹣3α﹣αβ＝α2﹣2α﹣α﹣αβ＝3﹣α﹣（﹣3）＝6﹣α．
∵x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴α＝3或﹣1，
∴6﹣α＝3或7．
故答案为：3或7．
12．【解答】解：由题意可知：△＝16﹣8m（1﹣5n）＝0，
∴16﹣8m+40mn＝0，
∴﹣1+5n＝0，
∴＝1，
故答案为：1
13．【解答】解：设方程x2﹣2x+m＝0的另一个解为n，
依题意，得：﹣1+n＝2，
解得：n＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x＝3或x＝5，
若3为腰的长，则三角形三边长度为3、3、6，不能构成三角形，舍去；
若5为腰长，则三角形三边长度为5、5、6，此时符合题意，所以底边长为6；
若6为腰长，则三角形三边长度为6、6、3或6、6、5，均符合题意，所以底边长为3或5；
故答案为：3或5或6．
15．【解答】解：当2x+1≤x﹣1，即x≤﹣2时，x的方程（2x+1）?（x﹣1）＝t化为（2x+1）2﹣（2x+1）（x﹣1）＝t，
整理得2x2+5x+2＝t，
当2x+1＞x﹣1，即x＞﹣2时，x的方程（2x+1）?（x﹣1）＝t化为（x﹣1）2﹣（2x+1）（x﹣1）＝t，
整理得﹣x2﹣x+2＝t
令y＝（2x+1）?（x﹣1），则y＝，
当x≤﹣2时，y＝2（x+）2﹣；当x＞﹣2时，y＝﹣（x+）2+，
画出两函数图象，如图，
当t＝0或t＝时，直线y＝t与y＝（2x+1）?（x﹣1）有两个不相同的交点，
所以t的值为0或．
故答案为0或．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0
（x﹣2）（2x﹣6）＝0
x﹣2＝0或2x﹣6＝0
∴x1＝2，x2＝3．
17．【解答】解：（1）﹣＝1，
方程两边乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣2＝x2﹣4，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以原分式方程的解为x＝1；
（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3），
（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝3，x2＝8．
18．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于9，
∴x＝±3是原方程的根，
当x＝3时，9﹣3（m+3）+m+2＝0．
解得m＝1；
当x＝﹣3时，9+3（m+3）+m+2＝0，
解得m＝﹣5．
综上所述，m的值为1或﹣5．
19．【解答】解：（1）∵负数没有平方根；
∴x2＝﹣1，此方程无实数解；
故答案为负数没有平方根；
（2）⑤2x2﹣72＝0，
x2＝36，
解得x＝±6；
⑥，
，
即．