人教版数学九年级上册 第24章 24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步测试试题（一）（Word版 含解析）

点和圆、直线和圆的位置关系同步测试试题（一）
一．选择题
1．用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”．应假设（　　）
A．一个三角形中没有一个角大于或等于60°
B．一个三角形中至少有一个角小于60°
C．一个三角形中三个角都大于等于60°
D．一个三角形中有一个角大于等于60°
2．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
3．如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（　　）
A． B．1 C．﹣1 D．
4．如图，线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（　　）
A．6 B． C．2 D．3
5．如图，圆O半径为4，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，∠CAB＝30°，则CD长（　　）
A．8 B．4 C．4 D．2
6．如图，直线l与⊙O相切于点A，直径BC的延长线与切线l交于点D，连接AB．且∠BDA＝3∠DBA，则∠DBA的度数为（　　）
A．15° B．20° C．18° D．22°
7．如图所示，在△DEF中，EF＝10，DF＝6，DE＝8，以EF的中点O为圆心，作半圆与DE相切，点A、B分别是半圆和边DF上的动点，连接AB，则AB的最大值与最小值的和是（　　）
A．6 B．2+1 C． D．9
8．用反证法证明命题“若＝a，则a≥0”时，第一步应假设（　　）
A． B．a≤0 C．a＜0 D．a＞0
9．如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI，∠AOB＝β，则∠OIB等于（　　）
A． B．180°﹣β C． D．90°+β
10．已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，设∠OAC＝α，∠OBA＝β，∠OCB＝γ．则下列叙述中正确的有（　　）
①若α＜β，α＜γ，且OC∥AB，则γ＝90°﹣α；
②若α：β：γ＝1：4：3，则∠ACB＝30°；
③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；
④若β＜α，β＜γ，则∠BAC+∠ABC＝α+γ﹣2β．
A．① B．③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为　 　．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，∠AOP＝　 　°．
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°．CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，若△ADE的面积是5，则△CDB的面积是　 　．
14．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD的延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB＝AC，若OE＝，则CD＝　 　．
15．如图，△ABC中，BC＝5，AC＝4，S△ABC＝，点D从点B开始以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，过点E作直线EF∥AC交AB于点F，当运动　 　秒时，直线EF与以点D为圆心，BD为半径的圆相切．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点 D．取BC的中点E，连接DE，并连接OE交⊙O于点F．连接AF交BC于点G，连接BD交AG于点H．
（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度数；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）求证：点F为线段HG的中点．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，点O在AB上，⊙O经过点A，D两点，与AC，AB分别交于点E，F
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若AC＝8，AF＝10，求AD和BC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：要证明原命题成立，则反证法假设的命题肯定不成立．从这一点出发，可以排除B，D这两个选项；反证法的核心是假设出原命题的相反面（或者说除原命题外的其他情况），证明假设的命题不成立，进而间接的证明原命题成立！原命题中出现“至少有一个”，则其对立面应该是“没有”、“不存在”、“没有一个”，所以应假设：一个三角形中没有一个角大于或等于60°
故选：A．
2．【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．
由题意：，
解得，
故选：C．
3．【解答】解：连接OC，过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴△ABC的高为2，即OC＝，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠OCF＝30°，
在Rt△OFC中，FC＝OCcos30°＝×＝，
∵OF过圆心，且OF⊥CE，
∴CE＝2FC＝3cm，
∴AE＝4﹣3＝1cm．
故选：B．
4．【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．
连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝6，
∴OA＝OB，
∴AC＝BC＝3，
∴在直角△AOC中，OC＝ACtan∠OAC＝3×tan30°＝．
故选：B．
5．【解答】解：连接OC，
∵DC是圆O切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∴∠D＝30°，
∴CD＝OC＝4．
故选：B．
6．【解答】解：连接OA．
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠DOA＝2∠B，
∵∠BDA＝3∠DBA，
∴设∠DBA＝α，
∴∠DOA＝2α，∠ADB＝3α，
∵AD是⊙的切线，
∴∠OAD＝90°．
∴2α+3α＝90°，
∴α＝18°．
∴∠DBA＝18°，
故选：C．
7．【解答】解：如图所示，设⊙O与DE相切于点C，连接OC，作OB⊥DF于点B，交⊙O于点A，此时AB最小，为OB﹣OA，当A在N处，B在F处时，AB最大，就是FN的长，
∵EF＝10，DF＝6，DE＝8，
∴EF2＝DF2+DE2，
∴∠D＝90°，
∵∠OBF＝90°，
∴OB∥DE，
∵OE＝OF，
∴OB＝DE＝4，BF＝BD＝3
由勾股定理得：OF＝5
∵OC⊥DE，∠D＝90°，
∴OC∥DF，
∵OE＝OF，
∴OC＝DF＝3，
∴AB的最小值是：OB﹣OA＝4﹣3＝1，
AB的最大值是：FN＝5+3＝8，
∴AB的最大值与最小值的和是：8+1＝9；
故选：D．
8．【解答】解：用反证法证明命题“若＝a，则a≥0”时，第一步应假设a＜0．
故选：C．
9．【解答】解：如图，连接IC，∵CD∥OA
∴∠CDB＝∠AOB＝β，
∴∠COD+∠OCD＝∠CDB＝β
∵点I是△OCD的内心
∴OI、CI分别平分∠COD、∠OCD
∴∠COI＝∠BOI＝∠COD，∠OCI＝∠OCD
∴∠OIC＝180°﹣（∠COI+∠OCI）＝180°﹣（∠COD+∠OCD）＝180°﹣β．
在△COI和△BOI中
∴△COI≌△BOI（SAS）
∴∠OIB＝∠OIC
∴∠OIB＝180°﹣β．
故选：A．
10．【解答】解：①如图1，∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝β，∠AOC＝180°﹣β，
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝γ
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即：β+γ+γ＝180°
∴γ＝90°﹣β，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，
∴180°﹣β+α+α＝180°
∴β＝2α
∴γ＝90°﹣α
故①正确；
②如图2，∠OAC＝∠OCA＝α，∠OBA＝∠OAB＝β，∠OCB＝∠OBC＝γ
∵α：β：γ＝1：4：3，设α＝x°，β＝4x°，γ＝3x°
∴∠BAC＝5x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝4x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°
∴5x°+7x°+4x°＝180°
∴x＝
∴∠ACB＝4x°＝45°，
故②不正确．
③如图3，∵OA＝OC＝OB
∴∠OCA＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝β，∠OBC＝∠OCB＝γ
∴2（α+β+γ）＝180°
∴α+β+γ＝90°
故③不正确
④如图3，∠BAC+∠ABC＝2α+β+γ≠α+γ﹣2β
故④不正确
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的直径为．
故答案为：．
12．【解答】解：如图，
∵∠B和∠AOC都对，
∴∠AOC＝2∠B＝2×60°＝120°，
∵OA＝OC，OP⊥AC，
∴OP平分∠AOC，
∴∠AOP＝AOC＝×120°＝60°．
故答案为60．
13．【解答】解：连接BE，
设AC＝a，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2a，
由勾股定理得，BC＝＝a，
∵CE平分∠ACB，
∴＝，
∴AE＝BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝a，
∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDB，
∴△ADE∽△CDB，
∴＝（）2，即＝，
解得，S△CDB＝，
故答案为：．
14．【解答】解：连接OA、AD，
∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，
∴∠DAB＝90°，∠OAC＝90°，
∴OE∥AD，
∵OD＝OB，
∴OE＝AD，
∴AD＝2OE＝2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ACO和△BAD中，
，
∴△ACO≌△BAD（ASA），
∴AO＝AD，
∵AO＝OD，
∴AO＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠OAE＝30°，∠DAC＝30°，
∴CD＝AD＝2，
故答案为：2．
15．【解答】解：如图，作BM⊥AC于M，设直线EF与⊙D相切于点N，连接DN．
∵S△ABC＝ACBM＝，
∴BM＝，
∵FE∥AC，
∴∠DEN＝∠C，∵∠DNE＝∠BMC，
∴△DNE∽△BMC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝x，
∵BC＝BD+DE+EC，
∴5＝x+x+2x，
∴x＝
故答案为．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：连接DE，如图1，
∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵∠B＝∠C＝∠BAD，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
即AB2＝BDBC，
又AB＝2，BD＝AD＝3，
∴BC＝6，
在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，
∴AH＝＝＝2，
∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，
∴△AED∽△ABH，
∴，
∴＝3．
17．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝6．
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，
∴S△ABD＝ABDE＝ADBD，
即×10×DE＝×8×6，
∴DE＝4.8．
18．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
在直角三角形OBE中，设圆O半径为r，
∵EF＝1，BE＝，则，r2+（）2＝（r+1）2，
解得r＝1，
∴OB＝1，OE＝2，
∴∠EOB＝60°；
（2）连结OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵E为直角三角形BCD斜边的中点，
∴DE＝EC，
∴∠CDE＝∠C，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵O、E分别为AB、BC的中点，
∴OE∥AC，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥BD，
∴＝，
∴∠FBD＝∠FAB，
∵∠GBF＝∠FAB，
∴∠FBD＝∠GBF，
∴BF⊥HG，
∴BF平分HG，
即：点F为线段HG的中点．
19．【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：连接DF．
∵AF为直径，
∴∠ADF＝90°，
∴∠ACD＝∠ADF．
又∵∠CAD＝∠FAD，
∴△CAD∽△DAF，
∴＝，
∴AD2＝CAAF＝80，
∴AD＝4，
在Rt△ACD中，CD＝＝4．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．