28.2.2 应用举例 同步练习（含答案）

28．2.2　应用举例
第1课时　与视角有关的解直角三角形应用题　　　　　　　　　　　　　　　　
30943552755901. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A．5sin36°米 B．5cos36°米
C．5tan36°米 D．10tan36°米
2．如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面最近距离AP＝
3． 为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：≈1.41，≈1.73；结果保留整数)
4．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )
30029151270A．160 m
B．120 m
C．300 m
5.如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°(点B，E，D在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
3140075184150A.米
B．30sinα米
C．30tanα米
D．30cosα米
7．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)
(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为 m；
(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)
8．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.
(1)求主桥AB的长度；
(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
(长度均精确到1 m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.04)
9．为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：
①小明的身高DC＝1.5 m；②小明的影长CE＝1.7 m；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9 m；④旗杆的影长BF＝7.6 m；⑤从D点看A点的仰角为30°.
请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
第2课时　与方位角、坡角有关的
　　　解直角三角形应用题　　　　　　　　　　　　　　　　
30333954476751．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A．250米
B．250米
米
D．500米
2．如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行( )
302196548895A．10(＋1)海里
B．10(－1)海里
C．20(＋1)海里
D．20(－1)海里
3．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(≈1.732)
26828752222504．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )
A．12米 B．4米
C．5米 D．6米　
5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．
6．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
7．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414)
8．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m)
9．黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.4，≈1.7)
参考答案：
28．2.2　应用举例
第1课时　与视角有关的解直角三角形应用题　　　　　　　　　　　　　　　　
1. C
2． －R.
3．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵∠CAB＝30°，
∴AD＝CD.
∵∠CBA＝60°，∴DB＝CD.
∵AB＝AD＋DB＝30，∴CD＋CD＝30.
∴CD＝＝×1.73≈13(米)．
答：河的宽度约为13米．
4．A
5．解：由题意，得∠AEB＝42°，∠DEC＝45°.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°.
∵AB＝15，∠AEB＝42°，
tan∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝.
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝45°，CD＝20.
∴ED＝CD＝20.
∴BD＝BE＋ED＝＋20≈36.7(m)．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m.
6．C
7．(1)11.4m；
(2)
解：过点D作DH⊥地面于点H，交水平线于点E，
在Rt△ADE中，
∵AD＝20 m，∠DAE＝64°，EH＝1.5 m，
∴DE＝AD·sin64°≈20×0.9＝18(m)，
即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5(m)．
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m.
8．解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，
∴AB＝＝＝＝97≈168.
答：主桥AB的长度约为168 m.
(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，
∴PB＝2PA＝194.
又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PBA＝30°，
∴∠DBP＝∠DPB＝60°.
∴△PBD是等边三角形．
∴DB＝PB＝194.
在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，
∴BC＝＝≈32.
答：引桥BC的长约为32 m.
9．
解：情况一：
选用①，②，④.
∵AB⊥FC，CD⊥FC，
∴∠ABF＝∠DCE＝90°.
又∵AF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEC.
则△ABF∽△DCE.
∴＝.
又∵DC＝1.5 m，BF＝7.6 m，CE＝1.7 m，
∴AB≈6.7 m.
答：旗杆高度约为6.7 m.
情况二：
选用①，③，⑤.
过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB⊥FC，DC⊥FC，
∴四边形BCDG为矩形．
∴CD＝BG＝1.5 m，DG＝BC＝9 m.
在Rt△AGD中，∠ADG＝30°，tan30°＝，
∴AG＝3 m.
又AB＝AG＋GB，
∴AB＝3＋1.5≈6.7(m)．
答：旗杆高度约为6.7 m.
第2课时　与方位角、坡角有关的
　　　解直角三角形应用题　　　　　　　　　　　　　　　　
1．A
2．A
3．解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．
理由如下：
由题意，得∠ABD＝30°，
∠ACD＝60°.
∴∠CAB＝∠ABD＝∠CAD＝30°.
∴BC＝AC＝200海里，
cos∠CAD＝＝.
∴AD＝100≈173.2.
∵173.2海里＞170海里，且D处距离A处最近，
∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．
4．A
5．3．
6．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则四边形BCFE是矩形．
由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，
在Rt△ABE中，＝，
∴AE＝50米．
在Rt△CFD中，∠D＝30°，
∴FD＝CF＝20米．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋20≈90.6(米)．
答：坝底AD的长度约为90.6米．
7．解：作PC⊥AB于点C.
由题意，得∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120，
在Rt△APC中，sinA＝，cosA＝，
∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°，AC＝PA·cosA＝120·cos64°.
在Rt△PCB中，∵∠B＝45°，
∴PC＝BC.
∴BP＝≈≈153.
∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.
答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里．
8．解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M.
由题意，得EM⊥AC，DF＝CM，∠AEM＝29°，
在Rt△DFB中，sin80°＝，∴DF＝BDsin80°.
∴AM＝AC－CM＝1 790－1 700sin80°.
在Rt△AME中，sin29°＝，
∴AE＝＝≈238.9(m)．
答：斜坡AE的长度约为238.9 m.
9．
解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为H，则∠G＝30°.
∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
∴CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2，
DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2.
又∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝＝＝6.
∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.
设AB＝x.
又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x.
∴BG＝＝＝x.
∵BG－BC＝CG，
∴x－x＝8.
解得x≈11.
答：电线杆的高(AB)约为11 m.