第十五章 分式复习 学案
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人教版八年级上册·第十五章：分式
①整式的乘法
②乘法分式
③因式分解
【考点分析】
1．分式的概念，判断一个代数式是否是分式
2．分式与整式概念的区别与联系
3．分式有意义、分式无意义、分式的值为零的条件
4.
掌握分式乘除法法则及其应用，分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算
5.
同分母分数的加减法，通分后对分式的化简，找最简公分母
6.
分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
7.
整数指数幂的运算性质，负整数指数幂的概念；
8．掌握分式方程的解法，化为一元一次的分式方程，检验一个数是不是原方程的增根.
9.
利用分式方程组解决实际问题.
10.
列分式方程表示实际问题中的等量关系.
【基础知识】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子(A÷B)叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
注：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变
用式子表示是：（M≠0）.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点五、分式的约分，最简分式
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式
注：分式约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
注：通分，要先确定各分式的公分母，一般各取分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
要点七、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中abcd是整式，bd≠0.
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中abcd是整式，bcd≠0.
要点八、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方：（n为正整数）.
要点九、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减：
要点十、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减：.
注：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
异分母分式加减法的一般步骤：①通分②进行同分母分式的加减运算
③把结果化成最简分式.
式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，后加减
要点十一、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.
要点十二、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
要点十三、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
要点十四、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.①是等式②方程里含有分母③分母中含有未知数.
要点十五、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
(1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；
(3)检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
(4)产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点十六、分式方程的应用
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【重点难点】
类型一、分式的概念
Eg1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，．
类型二、分式有意义，分式值为0
Eg2.1下列各式中，取何值时，分式有意义、无意义、值为零
（1）；（2）；（3）．
Eg2.2若分式有意义，则的取值范围是
．
类型三、分式的基本性质
Eg3.如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（
）
A
扩大3倍
B
不变
C
缩小3倍
D
扩大2倍
类型四、分式的约分、通分
Eg4.约分，通分：
(1)；
(2)；
类型五、分式的乘法
Eg5.计算：(1)；(2)．
类型六、分式的除法
Eg6.
计算：(1)；(2)．
类型七、分式的乘方
Eg7.下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
类型八、分式的乘除法、乘方的混合运算
Eg8.
计算：．
类型九、同分母分式的加减
Eg9.1计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
Eg9.2化简：
类型十、异分母分式的加减
Eg10.计算：（1）；
（2）；
（3）．
类型十一、分式的加减运算的应用
Eg11.设A、B两地的距离为s，甲、乙两人同时从A地步行到B地，甲的速度为v，乙用的速度行走了一半的距离，再用的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B地，说明理由．
类型十二、分式的混合运算
Eg12.计算：（1）；
（2）．
类型十三、负指数次幂的运算
Eg13.计算：（1）；
（2）．
类型十四、科学记数法
Eg14.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067
类型十五、判别分式方程
Eg15.下列方程中，是分式方程的是（
）．
A．
B．
C．
D．，（，为非零常数）
类型十六、解分式方程
Eg16.
解分式方程（1）；（2）．
类型十七、分式方程的增根
Eg17.若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
类型十八、分式方程的应用
Eg18.甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
【考点过关】
1．甲完成一项工程需要
m天，乙完成同样一项工程需要的天数比甲少2天，乙的工作效率为
。
2．当a
=
时，分式无意义。
3．分式约分的结果是
。
4．分式，，的最简公分母是
。
5．
。
6．当时，其值为零的分式是（
）。
A．
B．
C．
D．
7．下列等式成立的是（
）。
8．的结果是（
）
A．
B.
C.
D.
9.下列各式中正确的有(
).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
10.汽车从甲地开往乙地,每小时行驶千米,t小时可到达.如果每小时多行驶千米,那么可以提前到达的小时数是(
).
A.
B
C.
D.
11.化简:
12．计算：+.
解方程：.
14.用方程或方程组解应用题
商场进货员在苏州发现一种衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商场按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快销售完，问商场这笔生意赢利多少元？
【课后作业】
类型一、分式及其基本性质
1.在中，分式的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
类型二、分式运算
2.计算：．
3.计算：
；
；
；．
类型三、分式方程的解法
4.解方程
类型四、分式方程的应用
5.某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
知识脉络
①整式的乘法
②乘法分式
③因式分解
【考点分析】
1．分式的概念，判断一个代数式是否是分式
2．分式与整式概念的区别与联系
3．分式有意义、分式无意义、分式的值为零的条件
4.
掌握分式乘除法法则及其应用，分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算
5.
同分母分数的加减法，通分后对分式的化简，找最简公分母
6.
分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
7.
整数指数幂的运算性质，负整数指数幂的概念；
8．掌握分式方程的解法，化为一元一次的分式方程，检验一个数是不是原方程的增根.
9.
利用分式方程组解决实际问题.
10.
列分式方程表示实际问题中的等量关系.
【基础知识】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子(A÷B)叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
注：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变
用式子表示是：（M≠0）.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点五、分式的约分，最简分式
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式
注：分式约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
注：通分，要先确定各分式的公分母，一般各取分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
要点七、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中abcd是整式，bd≠0.
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中abcd是整式，bcd≠0.
要点八、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方：（n为正整数）.
要点九、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减：
要点十、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减：.
注：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
异分母分式加减法的一般步骤：①通分②进行同分母分式的加减运算
③把结果化成最简分式.
式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，后加减
要点十一、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.
要点十二、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
要点十三、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
要点十四、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.①是等式②方程里含有分母③分母中含有未知数.
要点十五、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
(1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；
(3)检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
(4)产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点十六、分式方程的应用
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【重点难点】
类型一、分式的概念
Eg1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，．
类型二、分式有意义，分式值为0
Eg2.1下列各式中，取何值时，分式有意义、无意义、值为零
（1）；（2）；（3）．
Eg2.2若分式有意义，则的取值范围是
．
类型三、分式的基本性质
Eg3.如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（
）
A
扩大3倍
B
不变
C
缩小3倍
D
扩大2倍
类型四、分式的约分、通分
Eg4.约分，通分：
(1)；
(2)；
类型五、分式的乘法
Eg5.计算：(1)；(2)．
类型六、分式的除法
Eg6.
计算：(1)；(2)．
类型七、分式的乘方
Eg7.下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
类型八、分式的乘除法、乘方的混合运算
Eg8.
计算：．
类型九、同分母分式的加减
Eg9.1计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
Eg9.2化简：
类型十、异分母分式的加减
Eg10.计算：（1）；
（2）；
（3）．
类型十一、分式的加减运算的应用
Eg11.设A、B两地的距离为s，甲、乙两人同时从A地步行到B地，甲的速度为v，乙用的速度行走了一半的距离，再用的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B地，说明理由．
类型十二、分式的混合运算
Eg12.计算：（1）；
（2）．
类型十三、负指数次幂的运算
Eg13.计算：（1）；
（2）．
类型十四、科学记数法
Eg14.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067
类型十五、判别分式方程
Eg15.下列方程中，是分式方程的是（
）．
A．
B．
C．
D．，（，为非零常数）
类型十六、解分式方程
Eg16.
解分式方程（1）；（2）．
类型十七、分式方程的增根
Eg17.若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
类型十八、分式方程的应用
Eg18.甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
【考点过关】
1．甲完成一项工程需要
m天，乙完成同样一项工程需要的天数比甲少2天，乙的工作效率为
。
2．当a
=
时，分式无意义。
3．分式约分的结果是
。
4．分式，，的最简公分母是
。
5．
。
6．当时，其值为零的分式是（
）。
A．
B．
C．
D．
7．下列等式成立的是（
）。
8．的结果是（
）
A．
B.
C.
D.
9.下列各式中正确的有(
).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
10.汽车从甲地开往乙地,每小时行驶千米,t小时可到达.如果每小时多行驶千米,那么可以提前到达的小时数是(
).
A.
B
C.
D.
11.化简:
12．计算：+.
解方程：.
14.用方程或方程组解应用题
商场进货员在苏州发现一种衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商场按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快销售完，问商场这笔生意赢利多少元？
【课后作业】
类型一、分式及其基本性质
1.在中，分式的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
类型二、分式运算
2.计算：．
3.计算：
；
；
；．
类型三、分式方程的解法
4.解方程
类型四、分式方程的应用
5.某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
知识脉络