2.4二次函数的应用 同步习题（含解析）

2.4二次函数的应用
同步习题
一．选择题
1．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
2．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少（　　）个时，网球可以落入桶内．
A．7
B．8
C．9
D．10
3．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（　　）
A．25m
B．50m
C．625m
D．750m
4．已知物体下落时间t与下落距离x成以下关系：x＝gt2，其中g与纬度的关系如图．若一只熊掉进一个洞深为19.664m的洞，下落时间刚好为2s，这只熊最有可能生活在哪个纬度附近（　　）
A．10°
B．45°
C．70°
D．90°
5．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元
B．160元
C．170元
D．180元
6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）
A．18°
B．36°
C．41°
D．58°
7．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（　　）
A．2月和12月
B．2月至12月
C．1月
D．1月、2月和12月
8．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（　　）
A．米
B．8米
C．米
D．10米
9．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（　　）
A．（6+3）cm
B．（6+2）cm
C．（6+2）cm
D．（6+3）cm
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（　　）
A．19cm2
B．16cm2
C．12cm2
D．15cm2
二．填空题
11．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制　
　个这样的抛物线型图案．
12．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　
　m．
13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为　
　元．
14．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为　
　时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
15．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是　
　，此时每千克的收益是　
　．
三．解答题
16．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？
17．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品售价不得超过70元件，该商店在今后的销售中，每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
18．喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：h）的函数表达式为y＝．其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题：
（1）试确定点A的坐标；
（2）根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？
参考答案
一．选择题
1．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x
＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
2．解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
∴M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
∵抛物线过点M和点B，
∴，
解得：k＝5，a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+5；
∴当x＝1时，y＝；
当x＝时，y＝，
∴P（1，），Q（，）在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意得：≤m≤，
解得：7≤m≤12；
∵m为整数，
∴m的最小整数值为：8，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．
故选：B．
3．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
4．解：∵若一只熊掉进一个洞深为19.664m的洞，下落时间刚好为2s，
∴x＝19.664，t＝2s，代入x＝gt2，得：
19.664＝g×22
∴g＝9.832，
由图可知g＝9.83058时，纬度为80，9.832比9.83058略大，
∴这只熊最有可能生活在纬度为90附近．
故选：D．
5．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
6．解：由图象可得，
该函数的对称轴x＞且x＜54，
∴36＜x＜54，
故选：C．
7．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
8．解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，
故选：C．
9．解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm，
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC?BC﹣PC?CQ，
＝×6×8﹣（6﹣t）×2t，
＝t2﹣6t+24，
＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故选：D．
二．填空题
11．解：以点O为原点，建立如下坐标系，
由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，
故函数的对称轴为x＝（0.5+1.5）＝1，
设第一个图案与x轴交点为D，则OD＝2，
则12÷2＝6，
故最多可以连续绘制6个这样的抛物线型图案，
故答案为6．
12．解：如右图所示，
点C为抛物线顶点，坐标为（0，6），则点A的坐标为（﹣10，0），点B的坐标为（10，0），
设抛物线ACB的函数解析式为y＝ax2+6，
∵点A在此抛物线上，
∴0＝a×102+6，
解得，a＝﹣，
即抛物线ACB的函数解析式为y＝﹣x2+6，
当y＝3时，3＝﹣x2+6，
解得，x＝，
∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5﹣（﹣5）＝10（m），
故答案为：10．
13．解：设商品所获利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣20）（40﹣x）
＝﹣x2+60x﹣800
＝﹣（x﹣30）2+100，
∵二次项系数﹣1＜0，20≤x≤40，且x为整数，
∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为100元．
∴每件商品的售价应为30元．
故答案为：30．
14．解：如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE
面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设
BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即
8a+2x＝60，
∴a＝﹣x+，3a＝﹣x+，
∴矩形区域
ABCD
的面积
S＝（﹣x+）x＝﹣x2+x，
∵a＝﹣x+
∴x＜30，
则
S＝﹣x2+x
（0＜x＜30）
∵二次项系数为﹣＜0
∴当x＝﹣＝15（m）时，S
有最大值，最大值为：﹣×152+×15＝（m2）
故答案为：15m．
15．解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为：
y1＝kx1+b，
将（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20，
所以y1＝﹣2x1+20
设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为：
y2＝a（x2﹣10）2+3
将（6，7）代入，解得a＝
所以y2＝（x2﹣10）2+3
＝x22﹣5x2+28
设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，
根据题意，得
y2＝x22﹣5x2+28
＝（﹣2x1+20）2﹣5（﹣2x1+20）+28
＝x12﹣10x1+28
w＝x1﹣y2
＝x1﹣（x12﹣10x1+28）
＝﹣x12+11x1﹣28
＝﹣（x1﹣）2+
当x1＝时，y1＝﹣11+20＝9，
w取得最大值，最大值为．
答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，
此时每千克的收益是元．
故答案为：9时，元．
三．解答题
16．解：（1）设花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）m，
根据题意得出：y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x；
∵墙的可用长度为9米，
∴0＜24﹣3x≤9，
解得：5≤x＜8，
∴y＝﹣3x2+24x（5≤x＜8）．
（2）y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵5≤x＜8，
∴当x＝5时，y最大值＝45平方米．
答：当AB为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．
17．解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元，
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90，
该天的售价为60元或者90元；
（2）设总利润为w，根据题意得，
w＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a
∵a＞0，
∴对称轴x＝＞75，
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，
∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝960，
即960＝﹣2×702+（300+2a）×70﹣10000﹣200a，
解得：a＝4．
18．解：（1）由题意可得A为函数y＝2x与y＝﹣x2+6x﹣4的交点，
所以2x＝﹣x2+6x﹣4，
解得x1＝x2＝2，代入y＝2x得y＝4，
可得A（2，4）．
（2）当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，
由（1）得m＝2，
当0＜x＜2时，
令y＝1，
2x＝1，
x＝；
当x≥2时，
令y＝1，
﹣x2+6x﹣4＝1
整理得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝5，
所以x＝5，
所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为（5﹣）＝4.5小时．