2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含解析）

2.5二次函数与一元二次方程
同步练习
一．选择题
1．对抛物线：y＝x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（　　）
A．与x轴有两个交点
B．开口向下
C．顶点坐标是（1，﹣2）
D．与y轴的交点是（0，3）
2．若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
A．﹣3＜x＜1
B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3
D．x＜1
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
4．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
5．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
6．二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
5
…
则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3
B．x1＝﹣1，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝5
7．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（　　）
A．0≤t＜8或t＝﹣1
B．t≥0
C．0＜t＜8
D．0≤t＜8
8．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（　　）
A．1+
B．3
C．2
D．2+
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（　　）
A．0
B．﹣4
C．4
D．2
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①当x＜0时，y随x增大而增大；
②抛物线一定过原点；
③方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝﹣4；
④当﹣4＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；
⑤a﹣b+c＜0．
其中结论错误的个数有（　　）个
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．若函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是　
　．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　
　．
13．抛物线y＝﹣3x2+x+2与x轴交于A，B两点，则AB的长为　
　．
14．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图，若y＜0，则x的取值范围是　
　，若y＞0，则x的取值范围是　
　．
15．已知函数y＝a（x+2）（x﹣），有下列说法：①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点，则只有唯一平移方法：向右平移2个单位；②当0＜a＜1时，抛物线的顶点在第四象限；③方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4必有实数根；④若a＜0，则当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．其中说法正确的是　
　．（填写序号）
三．解答题
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．
17．如图，在平面直角坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝﹣2x﹣2，直线l与x轴的交点为B，与y轴的交点为A．
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）向下平移抛物线c，当抛物线c的顶点与点A重合时，试判断点B是否在平移后的抛物线上．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴及它与x轴两交点的坐标；
（2）已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式ax2+2ax﹣3a≤5的x的最大值为2，直接写出实数a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项正确，符合题意；
B、∵二次项系数1＞0，抛物线开口向上，本选项错误，不符合题意；
C、∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），本选项错误，不符合题意；
D．、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．解：∵a＞0，故抛物线开口向上，
由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故选：B．
3．解：抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
则x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1或3，
故选：C．
4．解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
5．解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．
6．解：∵x＝0时，y＝﹣3；x＝2时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．
∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t只有一个交点，
∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，
当x＝1时，y＝0；
当x＝5时，y＝8；
当x＝2时，y＝﹣1；
∴t的取值范围是0≤t＜8或t＝﹣1．
故选：A．
8．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣3或1，
∴B（1，0），
∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴为x＝﹣1，
∵CD∥AB，
∴C、D两点关于x＝﹣1对称，
∴D（﹣2，﹣3），
设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
∴，
∴BD的解析式为y＝x﹣1，
∴E（0，﹣1），
令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，
解得，x＝﹣1，
∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），
∴FG＝（﹣1+）﹣（﹣1﹣）＝2，
故选：C．
9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即﹣＝0，
∴b＝0，
∴25a+c＝0，
∵a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx，
a（x﹣2）2+c＝0，
∴a（x﹣2）2＝25a，
∴（x﹣2）2＝25，解得x1＝7，x2＝﹣3，
即关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解为x1＝7，x2＝﹣3．
∴x1+x2＝4．
故选：C．
10．解：①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，y随x增大而减小，
则此小题结论错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），
∴另个交点为（0，0），即抛物线一定过原点，
则此小题结论正确；
③∵抛物线与x轴交于（﹣4，0）和（0，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝﹣4，
则此小题结论正确；
④由函数图象可知，当﹣4＜x＜0时，抛物线在x轴上方，即ax2+bx+c＞0，
则此小题结论正确；
⑤则函数图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
则此小题结论错误；
故选：B．
二．填空题
11．解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，
∴方程x2+2x+m＝0没有实数根，
∴判别式△＝22﹣4×1×m＜0，
解得：m＞1；
故答案为：m＞1．
12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c对应的x的值﹣1或5，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
13．解：当y＝0，则﹣3x2+x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣，
故AB的长为：1+＝．
故答案为：．
14．解：函数的对称轴为x＝1，根据点的对称性，则抛物线和x轴另外一个交点为坐标为（3，0），
从图象看，若y＜0，则x的取值范围是﹣1＜x＜3，若y＞0，则x的取值范围是x＞3或x＜﹣1，
故答案为﹣1＜x＜3；x＞3或x＜﹣1．
15．解：当函数图象向上平移4个单位时，解析式为y＝ax2+2（a﹣1）x，则其图象过原点，故①不正确；
在y＝ax2+2（a﹣1）x﹣4中，令x＝0可得y＝﹣4，
当0＜a＜1时，其对称轴为x＝﹣＞0，此时其顶点坐标在第四象限，故②正确；
∵y＝a（x+2）（x﹣）＝ax2+2（a﹣1）x﹣4，
∴方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4可化为ax2+2（a﹣1）x﹣4＝﹣4，即ax2+2（a﹣1）x＝0，该方程有实数根，故③正确；
当a＜0时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴的左侧，但无法确定其在x＝﹣2的左侧还是右侧，故④不正确；
综上可知正确的是②③，
故答案为②③．
三．解答题
16．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，
∴ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝3、x2＝﹣1；
（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；
（3）∵点C（0，3），
∴点C关于对称轴的对称点为：（2，3），
∴不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2．
17．解：（1）根据题意得x2+m＝﹣2x﹣2，
整理得x2+2x+m+2＝0，
∵抛物线c与直线l没有公共点，
∴△＝22﹣4（m+2）＜0，
解得m＞﹣1，
∴m＞﹣1时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣2＝﹣2，
∴A（0，﹣2），
当y＝0时，﹣2x﹣2＝0，解得x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵抛物线c的顶点与点A重合，
∴平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2，
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2＝﹣1，
∴点B不在平移后的抛物线上．
18．解：（1）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
令y＝0，得到ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，
∴抛物线与x轴交于（﹣3，0）和（1，0）．
（2）如图1中，当a＜0时，抛物线经过点A（0，4）时，a＝﹣，
观察图象可知当a≤﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
如图2中，当a＞0时，抛物线经过B（3，4）时，a＝，
观察图象可知，a≥时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣或a≥．
（3）当a＞0时，
当x＝2时，y＝5，即4a+4a﹣3a＝5，
∴a＝1，
观察图象可知a≥1时，满足条件．
当a＜0时，不存在符合题意的a的值．
综上所述，a≥1．