苏科版八年级数学上册知识讲义-1.全等三角形简单辅助线的作法（含答案）

初中数学
简单辅助线的作法
精讲精练
【考点精讲】
常见辅助线的作法：
（1）在△ABC中，如果AD是中线，常采用的作法是：
①延长AD到E，使DE＝AD，连接BE（或过B作BE∥AC，交AD的延长线于E），如图甲。
②取AC的中点E，连接DE（或过D作DE∥BA，交AC于E），如图乙。
③延长BA至E，使AE＝AB，连接CE（或过C作CE∥AD交BA的延长线于E），如图丙。
（2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，常采用的作法是：
①延长BA至E，使AE＝AC，连接CE（或过C作CE∥AD，交BA的延长线于E），如图甲。
②在较长边AB上截取AE＝AC，连接DE，如图乙。
③过C作CE∥AB，交AD的延长线于E，如图丙。
④过D作DE∥AB，交AC于E，如图丁。
（3）在△ABC中，若D是AB的中点，常采用的作法是：
①过D作DE∥BC，交AC于E。或取AC的中点E，连接DE，如图①
②连接CD，用中线的性质，如图②。
③若已知△ABC为特殊三角形，可利用特殊三角形的性质：如为等腰三角形，考虑顶点平分线；若为直角三角形，考虑斜边中线；若为有一个角是30°的直角三角形，考虑斜边中线及30°角所对边之间的关系，常可作出中线。
【典例精析】
例题1
如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD＝2CE。
思路导航：要证明BD=2CE，需找出线段BD或2CE，由条件“BD平分∠ABC和CE⊥BD”，想到延长CE、BA相交于F，因此先证明CF＝2CE，再证明BD＝CF。由此知需要证明△ABD≌△ACF。
答案：证明：延长CE、BA相交于F
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠3
在△FBE和△CBE中
∴△BEF≌△BEC
∴CF＝2CE
在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F
同理∠1＝90°－∠F
∴∠1＝∠2
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF
∴BD＝2CE
点评：①在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图形。此题所作的辅助线，实质上是将Rt△BCE以BE所在的直线为轴翻折过去得到Rt△BFE。
②此题图中，可以把BE、CA看成是△FBC的两条高，注意“∠1＝∠2”这个结论。
例题2
如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
思路导航：问题是关于AB与AC+BD相等关系的，直接证明较为麻烦，且很难想到思路，所以还是要添加辅助线把题目简化些。通常会在AB上截取AF=AC，连接EF。
可先证明出△ACE≌△AFE，之后再证明出△EFB≌△EDB，由全等三角形对应边相等得出FB=DB，再加上AF=AC，就能得出结论AC+BD=AF+FB=AB。
答案：相等。
证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连接EF。
在△ACE和△AFE中，
∵
∴△ACE≌△AFE（SAS）
∴∠5=∠C
∵AC∥BD
∴∠C+∠D=180°，
又∵∠5+∠6=180°
∴∠6=∠D
在△EFB和△EDB中，
∵
∴△EFB≌△EDB（AAS）
∴FB=DB
∴AC+BD=AF+FB=AB
证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F
∵AC∥BD
∴∠F=∠4
又∵∠3=∠4
∴∠F=∠3
在△AEF和△AEB中，
∵
∴△AEF≌△AEB（AAS）
∴AB=AF，BE=FE
在△BED和△FEC中，
∵
∴△BED≌△FEC（ASA）
∴BD=FC
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。即AB=AC+BD得证
点评：对于结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法（或补短法）。所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
【总结提升】
三角形问题添加辅助线方法
1.
有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常利用三角形的中位线。通过这种方法，可以把要证的结论恰当地转移，能很容易地解决问题。
2.
含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
3.
结论是两线段相等的题目，常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线的一些定理。
4.
结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法。
同步练习
（答题时间：20分钟）
一、填空题
1.
如图，已知，，，则等于
。
2.
如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。
若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为
。
?
?
3.
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________。
二、解答题
4.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD。
求证：∠C=∠A。
5.
如图，AD=BC，AB=DC。
求证：∠A+∠D=180°
答案
1.
23°
解析：连接AC，可知AB=CD（已知），AD=BC（已知），AC=CA（公共边），由SSS即可证出△ACB≌△CAD，所以∠D=∠B=23°。
2.
4
解析：过点P作PF⊥AD于点F，作PG⊥BC于点G，由角平分线的性质定理可知：PF=PE，PG=PE，即
PF=PG=PE=2，而两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=4，故答案为4。
3.
50°
解析：由三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和及等量代换可知，∠BAC=2∠BPC=2×40°=80°。（详见3期），如图所示：过点P作PE⊥BA延长线于E，PG⊥BC于点G，PF⊥AC于点F，由角平分线的性质可知：PG=PF，PG=PE，即：PF=PE，所以BP是∠EAC的平分线，所以∠CAP=∠EAC=（180°－∠BAC）=×（180°－80°）=50°。
4.
证明：连接BD，
∵AB=CB，AD=CD，BD=BD
∴△DAB≌△DCB
∴∠C=∠A
5.
证明：连接AC
∵AD=BC，AB=DC，AC＝CA
∴△ABC≌△CDA
∴∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD
∴∠A＋∠D＝180°