28.2解直角三角形的应用（附练习及答案）

初中数学
解直角三角形的应用
学习目标
一、考点突破
1.
弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、方位角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应。
2.
能够恰当地把实际问题转化为数学问题，从而利用直角三角形的知识解决实际问题。
二、重难点提示
重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
难点：如何添作适当的辅助线构造直角三角形。
考点精讲
常见应用问题类型
1.
仰角和俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角。
2.
方位角：指北（或指南）方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角。
3.
坡度和坡角：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i＝h∶l。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i＝＝tanα。
【核心突破】
（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”
。
（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。
（3）工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡。
【重要提示】
仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北（南）方向而言的。
典例精讲
例题1
如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图。已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（
）
A.
10.8米
B.
8.9米
C.
8.0米
D.
5.8米
思路分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到。
答案：延长CB交PQ于点D。∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ。
∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴。
设BD＝5k米，AD＝12k米，则AB＝13k米。
∵AB＝13米，∴k＝1，∴BD＝5米，AD＝12米。
在Rt△CDA中，∠CDA＝90゜，∠CAD＝42°，
∴CD＝AD?tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米。
故选D。
技巧点拨：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形。
例题2
解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁。
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为__________m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ＝54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ＝73°，已知PQ⊥MQ，MN＝40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）。
①
②
思路分析：（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；（2）设PQ＝x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN＝40m，可得关于x的方程，解出即可。
答案：（I）∵点C是AB的中点，∴A'C'＝AB＝23.5m。
（II）设PQ＝x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ＝＝1.4，∴MQ＝，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ＝＝3.3，∴NQ＝，∵MN＝MQ－NQ＝40，即－＝40，解得：x≈97。答：解放桥的全长约为97m。
技巧点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟悉锐角三角函数的定义，能将实际问题转化成数学问题。
例题3
如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号。已知A、B两船相距100（＋1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上。
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）。
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁。若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
思路分析：（1）作CE⊥AB，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里。根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案。
答案：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE?tan60°＝x；
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x。
∴AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），解得：x＝100。
AC＝2x＝200。
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°。
过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（－1），
∴AD＝2y＝200（－1）。
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（－1）海里。
（2）由（1）可知，DF＝AF＝×100（－1）≈127，
∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航行，在去营救的途中没有触暗礁的危险。
技巧点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并添加合适的辅助线，选择合适的边角关系解答。
提分宝典
【方法提炼】
坡角、坡度和坡面水平宽度之间的关系
（1）坡面垂直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明。
（2）坡面水平宽度一定，垂直高度与坡度有何关系，举例说明。
思路分析：（1）如图所示，垂直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为tanα＝，AB不变，tanα随BC增大而减小。
（2）与（1）相反，水平宽度BC不变，α将随垂直高度增大而增大，tanα也随之增大，因为tan＝，BC不变时，tanα随AB的增大而增大。
【综合拓展】
利用三角函数解决实际问题
利用三角函数解决实际问题时，应注意以下几点：
1.
弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题。
2.
认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。
3.
选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。
4.
按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。
同步练习
（答题时间：15分钟）
1.
如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（
）
A.
4米
B.
6米
C.
12米
D.
24米
2.
如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动。已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（
）
A.
6sin15°cm
B.
6cos15°cm
C.
6tan15°cm
D.
cm
3.
将一块直径是10cm的量角器如图放置，点A与180°刻度重合，点B与0°刻度重合，角的另一边与40°刻度重合（点C），则AC等于（
）cm。（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin70°≈0.940，cos70°≈0.342
）。
A.
6.43
B.
7.66
C.
9.40
D.
3.42
4.
如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（
）
A.
20海里
B.
10海里
C.
20海里
D.
30海里
5.
如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为300米。某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为__________米。
6.
小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿一条过点B的直线BH折叠，使点C落在直线AB上，还原后，再沿过点B的直线BE折叠，使点C落在BH上，还原后就可以求出67.5°角的正切值是__________。
7.
图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）。（参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
8.
如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1＝1：2，钢缆BC的坡度i2＝1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
答案
1.
B
解析：在Rt△ABC中，∵i＝，AC＝12米，∴BC＝6米，根据勾股定理得：AB＝米，故选B。
2.
C
解析：∵tan15°＝。∴木桩上升了6tan15°cm。故选C。
3.
C
解析：连接BC，OC，∵点A与180°刻度重合，点B与0°刻度重合，角的另一边与40°刻度重合（点C），∴∠BOC＝40°，∴∠A＝∠BOC＝20°，∵AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴AC＝AB?sin∠ABC＝10×0.940＝9.40（cm）。故选C。
4.
C
解析：如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°。又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°。∴在直角△ABC中，sin∠ABC＝，∴BC＝20海里。故选C。
5.
解析：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC＝75°，∠BPD＝30°，∴∠APE＝15°，∠BPE＝60°，∴AE＝PE?tan15°，BE＝PE?tan60°，∴AB＝AE＋BE＝PE?tan15°＋PE?tan60°＝300，即PE（tan15°＋）＝300，解得PE＝（米）。
6.
解析：如图，过E点作EG⊥BF，设BC＝a，由折叠可知∠1＝∠2＝45°，BCHF是正方形，BH＝a。，CE＝IE。由三角形面积的不同表示方法，得，S△BCH＝S△BCE＋S△BEH＝，CE＝（－1）a。tan67.5°＝tan。
7.
解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G。∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝∠CGD＋∠CDE－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC?sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD?sin∠CDE≈0.336m，∴FG＝FC＋CG≈1.1m。故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m。
8.
解：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA'B'F，BB'C'D和BFED都是矩形，∴BF＝BB'－B'F＝BB'－AA'＝310－110＝200，CD＝CC'－C'D＝CC'－BB'＝710－310＝400，∵i1＝1：2，i2＝1：1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400，又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200，∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600，∴在Rt△AEC中，AC＝＝＝1000（米）。答：钢缆AC的长度是1000米。