2.2.3空间向量的数量积运算-北师大版高中数学选修2-1课件（18张PPT）

空间向量的
数量积运算
A
O
B
a
b
a
b
a
b
4．平面向量的夹角：
复习：
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？
注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
A
B
A'
B'
3、射影
l
2）两个向量的数量积
注：
　①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质:
对于非零向量　　 ，有：
（求角的依据）
（证明垂直的依据）
（求向量的长度的依据)
4)空间向量的数量积满足的运算律
下列命题成立吗?
①若 ,则
②若 ,则
③
思考:
3、空间向量数量积的性质
4. 空间向量数量积运算律
⑴
⑵
⑶
（数乘结合律）
（分配律）
（交换律）
注意：
数量积不满足结合律，
也不满足消去率
1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，
| b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝__________，
(a＋2b)·(a－b)＝__________.
题型一　利用数量积求夹角
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
【例1】
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！
题型二　利用数量积证明垂直关系
【例2】
证明：
如图,已知:
求证：
在直线l上取向量 ,只要证
为
分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.
解：
2.已知在平行六面体　　　　　　　
,
求 对角线的长.
巩固练习：
空间向量数量积的定义
空间向量数量积的性质
空间向量数量积的运用
空间向量的夹角