2.3向量的坐标表示和空间向量的基本定理-北师大版高中数学选修2-1课件（32张PPT）

3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解及坐标表示
x
y
o
复习：
在空间中，能得出类似的结论:
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使
都叫做基向量
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：
（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
x
y
z
O
Q
P
由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得
我们称 为向量 在
上的分向量。
这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
x
y
z
O
A(x,y,z)
e1
e2
e3
空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
C1
D
A1
O
B
C
z
x
y
(A)
D1
B1
解: (1)因为AB=2,BC=3,AA1=5
所以C1为(3,2,5)
(2)因为点D1为(3,0,5)
A
D1
C1
B1
A1
D
C
B
例2.如图,已知单位正方体
ABCD-A1B1C1D1,求
A
D1
C1
B1
A1
D
C
B
例2.如图,已知单位正方体
ABCD-A1B1C1D1,求
(1)不共线的向量 叫做这一平面内所有向量 的一组基底;
平面向量基本定理:
(4)基底给定时,分解形式唯一.
如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,
使
(3) 任一向量 都可以沿两个不共线的方向（ 的
方向）分解成两个向量（ ）和的形式；
说明：
例题讲解
空间向量运算
的坐标表示
O
x
y
z
　 从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz．
　　点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、 yOz平面和 xOz平面．
空间直角坐标系
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四
指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转
指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我们也称这样的坐标系为右手系．
说明:
☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
Ⅶ
面
面
面
空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
, 则
设
一、向量的直角坐标运算
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB
=
OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、
　　　　，则
（2）空间两点间的距离公式
2.两个向量夹角公式
注意：
　（1）当　　　　　　 时，　　　同向；
　（2）当　　　　　　 时，　　　反向；
　（3）当　　　　　　 时，　　　。
4空间向量平行和垂直的条件
例1．已知
解:
三、应用举例
三、应用举例
例2　已知　　　　、　　　　，求：
　（1）线段　　的中点坐标和长度；　
解：设　　　　　是　　的中点，则
∴点　的坐标是　　　　　.　
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系　　　　，则　　　　
例3　如图, 在正方体　　　　　　　中，　　　
　　　　　，求　　与　　所成的角的余弦值.　　
证明:
设正方体的棱长为1,
建立如图的空间直角坐标系
x
y
z
A1
D1
C1
B1
A
C
B
D
F
E