3.1.1椭圆及其标准方程-北师大版高中数学选修2-1课件（37张PPT）

3.1.1 椭圆及其标准方程
生活中的椭圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
（二）突出认知、建构概念
一、合作探究，形成概念：
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？
2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下任务，并思考相应问题。
思考
数学实验
(1)取一条细绳，
(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形
1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
1. 椭圆定义：
　 平面内与两个定点　　的距离的和等于常数（大于
　　）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。
|MF1|+|MF2|=2a
M
F1
F2
记焦距为2c，椭圆上的点M与F1， F2的距离和记为2a。
(|F1F2|=2c,
（三）注重本质 、理解概念
2a>2c>0)
绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
绳长小于两定点间
距离即2a<2c时，
M
F1
F2
F1
F2
思考
为什么要求
（三）注重本质、理解概念
轨迹为线段；
无轨迹。
注意:椭圆定义中的关键点：
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
（2） 平面内. ---这是大前提
（3）动点M与两定点 的距离的和等于常数2a．
1. 椭圆定义：
　　平面内与两个定点　　的距离的和等于常数（大于
　　）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)
M
F1
F2
记焦距为2c，椭圆上的点M与F1， F2的距离的和记为2a。
（三）注重本质、理解概念
求曲线方程的步骤是什么？
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y);
（2）找出限制条件 p(M);
（3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0;
（4）化简方程 f (x，y)=0;
（5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)
建、 设、限、代、化
结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？
（四）深化研究、构建方程
x
O
y
A
(a,b)
M
r
x
O
y
M
r
类比探究
（四）深化研究、构建方程
建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁
x
O
y
M
方案一
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
（四）深化研究、构建方程
方案二
x
O
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
由椭圆定义可知
化
代
设
建
F1
F2
x
y
M( x , y )
设 M( x，y )是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距为2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0).
则：
O
椭圆标准方程的推导
限
限制条件为：
两边同除以 得
（四）深化研究、构建方程
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
F1
F2
x
y
M( x , y )
椭圆的标准方程
（四）深化研究、构建方程

焦点在 轴上
思考：
焦点在 轴上的方程是什么？
O
x
y
焦点在y轴：
焦点在x轴：
1
o
F
y
x
2
F
M( x , y )
1
2
y
o
F
F
M( x , y )
x
椭圆的标准方程
（四）深化研究、构建方程
Y型椭圆
X型椭圆
由两点间的距离公式，可知：
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
|MF1|+ |MF2|=2a
（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）
焦点在Y轴
焦点在X轴
焦点在x轴上的标准方程：
焦点在y轴上的标准方程：
如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？
（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.
（2）焦点在y轴的椭圆，y2 项分母较大.
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
X
O
F1
F2
M
(0,-c)
(0 , c)
椭圆的标准方程的认识：
（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两
个方程，方程形式是固定的。
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”
则方程可化为
观察左图， 和同桌讨论你们能从中找出表示c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？

图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？（独立思考后回答）
例1、填空：（独立思考后回答）
(1)已知椭圆的方程为： ,则
a=_____，b=_______，c=_______，
焦点坐标为： ，焦距
等于_____;
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则
点P到另一个焦点F2的距离等于_________，
则?F1PF2的周长为___________
2
1
(0,-1)、(0,1)
2
|PF1|+|PF2|=2a
三、迁移应用，能力提高
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
F1
F2
(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则?F2CD的周长为________
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
２0
F1
F2
C
D
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
|CF1|+|CF2|=2a
（3）a=5，c=4的椭圆标准方程是
。
或
练习1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明a2、b2，写出焦点坐标
答：在 X 轴。（-3，0）和
（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和
（0，5）
答：在y 轴。（0，-1）和
（0，1）
练习2：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标
解：因为椭圆的焦点在 轴上，设
由椭圆的定义知
所以
又因为 ， 所以
因此，所求椭圆的标准方程为
定义法
x
F1
F2
P
O
y
（六）应用拓展、提高能力
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点P ，求它的标准方程.
例1：
解：因为椭圆的焦点在 轴上，设
由于 所以
①
又点 在椭圆上
②
联立方程①②解得
因此所求椭圆的标准方程为
x
F1
F2
P
O
y
待定系数法
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点P ，求它的标准方程.
例1：
（六）应用拓展、提高能力
例2、如图，在圆　　　　　上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为
P(x’,y’),则
由题意可得：
因为
所以
即
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
o
x
y
P
M
D
例3 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程。
“杂点”可不要忘了哟
注:①这样设不失为一种方法.

y
o
F
1
F
2
x
例4.已知椭圆 ，焦点为F1和F2 ，P是椭圆
上一点，且 ，求 的周长和面积。
通常叫做焦点三角形，其周长为定值2a + 2c.
相关知识：
注意新旧知识的综合运用
通常叫做焦点三角形，其周长为定值2a + 2c，
其面积为
（七）回顾反思、提升经验
一个概念：
两个方程：
两种方法：
三个意识：
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定义法；待定系数法.
类比意识；求美意识；求简意识.
两种思想：
数形结合的思想；坐标法的思想.
标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!
标 准 方 程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦 点 坐 标
a、b、c 的关系
焦点在x轴上
焦点在y轴上
y
x
M
O
F1
F2