3.1.2椭圆的简单几何性质-北师大版高中数学选修2-1课件（25张PPT）

3.1.2 椭圆的简单几何性质
复习：
*
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是
a2=b2+c2
焦点在x 轴上
1
2
y
o
F
F
M
x
椭圆的标准方程
焦点在y 轴上
y
o
1
F
F
2
x
.
.
F1(-c，0)
F2(c，0)
F1(0，c)
F2(0，-c)
Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）
椭圆的一般方程
一、椭圆的范围
即
-a≤x≤a -b ≤y≤b
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形里．
o
x
y
-a
a
b
-b
*
Y
X
O
P（x，y）
P2（-x，y）
P3（-x，-y）
P1（x，-y）
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
二、椭圆的对称性
y
O
F1
F2
x
二、椭圆的对称性
结论：椭圆既是轴对称图形，
又是中心对称图形
对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
*
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心。
练习：1.已知点P(3，6)在 上,则( )
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
(C) 点(-3,6)在椭圆上
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
令x=0,得y=？说明椭圆
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？
焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。
长轴：线段A1A2；
长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2；
短轴长 |B1B2|=2b
焦 距 |F1F2| =2c
①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；
③焦点必在长轴上；
② a2=b2+c2，
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
b
a
c
椭圆的简单几何性质
a
F2
F1
|B2F2|=a；
注意
*
例1已知椭圆方程16x2+25y2=400,
10
8
6
80
分析：椭圆方程转化为标准方程为：

a=5 b=4 c=3
o
x
y
o
x
y
它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
练习
例2 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
椭圆的标准方程为： ；
椭圆的标准方程为： ；
解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
（2）当 为短轴端点时， , ，
综上所述，椭圆的标准方程是 或
由椭圆的范围、对称性和顶点，
再进行描点画图，只须描出较少的
点，就可以得到较正确的图形.
小 结 ：
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围：
0*
因为a>c>0，
所以0 < e <1.
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
O
x
y
a
b
●
c
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，
椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，
椭圆就越圆
*
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，
椭圆的标准方程就变为圆的方程：
e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
e=1,为线段。
[3]e与a,b的关系:
*
小试身手：
2.说出椭圆 的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
范围：
长轴长和短轴长：
焦点坐标：
顶点坐标：
练习：
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
根据：离心率e越大，椭圆越扁；
离心率e越小，椭圆越圆
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点 、 ；
（2）长轴长等于 ,离心率等于 ．
解:（1）由题意， ,又∵长轴在
轴上，所以，椭圆的标准方程为
（2）由已知， ，
∴ ， ，∴ ，
所以椭圆的标准方程为 或 ．
已知椭圆 的离心率 ，求 的值
由 ，得：
解：当椭圆的焦点在 轴上时，
， ，得 ．
当椭圆的焦点在 轴上时，
， ，得 ．
由 ，得 ，即 ．
∴满足条件的 或 ．
思考：
标准方程
图 象
范 围
对 称 性
顶点坐标
焦点坐标
半 轴 长
焦 距
a,b,c关系
离 心 率
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴，y轴，原点对称
（ a ,0 ）;(0, b)
（ b ,0 ）; (0, a)
( c, 0)
(0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0

x
y
Ｏ
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
一个框，四个点，
注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现．
课堂小结
用曲线的图形和方程
来研究
椭圆的简单几何性质