3.2.1抛物线及其标准方程-北师大版高中数学选修2-1课件（36张PPT）

3.2.1 抛物线及其标准方程
小结：
抛物线的生活实例
喷 泉
灯
卫星接收天线
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜e ＜1
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0(其中定点不在定直线上)
l
F
·
M
e＞1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
问题探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探究？
几何画板观察
M
·
F
l
·
e=1
课后研究
问题探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是抛物线
几何画板观察
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
M
·
F
l
·
e=1
M
·
F
l
·
e=1
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
准线
焦点
d
一、抛物线的定义:
M
·
F
l
·
e=1
二、标准方程的推导
如何建立坐标系呢？
思考：抛物线是轴对称图形吗？
1.建立坐标系
2.设动点坐标,相关点的坐标.
3.列方程
4.化简,整理
l
解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
两边平方,整理得
x
K
y
o
M(x,y)
F
二、标准方程的推导
依题意得
5.证明（略）
这就是所求的轨迹方程.
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离
焦点坐标是
准线方程为:
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？
﹒
y
x
o
方案(1)
﹒
y
x
o
方案(2)
﹒
y
x
o
方案(3)
﹒
y
x
o
方案(4)
y2=2px (p>0)
想一想?
这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?
四种标准方程
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
(三)抛物线的标准方程
图 形
焦 点
准线方程
标准方程
y2= -2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2= -2py(p>0)
y2=2px(p>0)
图形
标准方程
抛物线的四种标准方程对比
2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?
左边都是平方项，
右边都是一次项.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
4.四种抛物线的标准方程对比
思考：抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？
解：抛物线标准方程为：y2= x
1
a
∴2p=
1
a
4a
1
∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=
4a
1
②当a<0时, , 抛物线的开口向左
p
2
=
1
4a
∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=
4a
1
1
4a
①当a>0时, , 抛物线的开口向右
p
2
=
1
4a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
思考：
二次函数 的图像为什么是抛物线？
当a>0时与当a<0时，结论都为：
例1：（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。
解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）
准线方程为x=- －.
32
32
1 12
解:方程可化为:x =- －y,故p=－,焦点坐标
为(0, -－),准线方程为y= －.
16
1 24
1 24
2
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y
2
自主探究
2.已知抛物线的标准方程是y2 = -6x ，则它的焦
点坐标是 ,准线方程是 .
3.已知抛物线的方程是y=6ax2（a≠0），则它
的焦点坐标是 ,准线方程是 .
应用：类题一（由方程求有关量）
1.已知抛物线的标准方程是y2 = 6x ，则它的焦
点坐标是 ,准线方程是 .
感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点:
1.先化为标准方程 2. 判断焦点的位置
是一次项系数的
是一次项系数 的相反数
即：准确“定型”
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
准线
开口方向
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
题型一：利用抛物线的定义解题
例1：已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时P点的坐标
题型一：利用抛物线的定义解题
例1.（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程
x
y
o
l
F
（0,－2）
解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上，并且
∴所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .
= 2,∴p = 4 ,
F
x
y
o
l
X = 1
解：（3）∵准线方程是 x = 1，
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
y 2 =－4 x
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
且焦点在 x 轴的负半轴上，
∴所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
∴ p =2 ，
x
y
o
(3,2)
解：（4）∵点A(3，2) 在第一象限，
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
∴抛物线的开口方向只能是向右或向上，
设抛物线的标准方程是
y2 = 2px（p>0），
或 x2 = 2py（p>0），
将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为
题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法
例3点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。
|MF|+1=|x+5|
l
y
.
.
o
x
M
F
解（直接法）：
设 M(x，y)，则由已知，得
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
由抛物线定义知：
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线.
题型二：求抛物线方程的方法：-----轨迹法，定义法
练习：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
(A)y2＝8x (B)y2＝－8x (C)y2＝4x (D)y2＝－4x
解:设动圆圆心为M(x，y),半径为R,
圆C:圆心为C(2,0),半径r＝1.
∵圆M与圆C外切，∴|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离
∴|MC|＝d＋1.
由抛物线的定义可知，
点M的轨迹是以C(2,0)为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，
且p/2＝2，∴p＝4，
故其方程为y2＝8x.
A
练习：
点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方程的类型和ｐ的值
M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，
若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离
是——————————.
X0 + —
2
p
O
y
x
．
F
M
．
思考题 :
抛物线 上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.
应用提高
1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(-3，m)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
解：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，过M(-3,m),
抛物线方程可设为：y2=-2px(p>0)
∴抛物线方程为：y2=-8x，
准线方程为：x=2
2、求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 的抛物线的方程.
解：设所求的抛物线方程为y2=mx
把y=2x+1代入y2=mx化简得：
4x2+(4-m)x+1=0
∴所求的抛物线方程为y2=12x或y2=-4x
小 结 ：
1、抛物线的定义。
2、抛物线的标准方程。（四种形式）
3、求抛物线标准方程：
（1）用定义；（2）用待定系数法。