3.2.2抛物线的简单几何性质-北师大版高中数学选修2-1课件（27张PPT）

3.2.2抛物线的简单几何性质
一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,
当0(定点F不在定直线l上)
当e=1时，是抛物线 .
(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右
y2 = 2px (p>0)
(2)开口向左
y2 = -2px (p>0)
(3)开口向上
x2 = 2py (p>0)
(4)开口向下
x2 = -2py (p>0)
M
·
F
l
·
e=1
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
准线
焦点
d
即:
︳
︳
︳
︳
标准方程
图形
焦点
准线
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)
A．2　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.
答案：D
答案：B
P(x,y)
一、抛物线的几何性质
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
所以抛物线的范围为
关于x轴
对称
由于点 也满
足 ，故抛物线
(p>0)关于x轴对称.
y2 = 2px
y2 = 2px
2、对称性
P(x,y)
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点。
P(x,y)
由y2 = 2px （p>0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
３、顶点
离心率
4、
P(x,y)
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
5、开口方向
P(x,y)
抛物线y2 =2px（p>0）的开口方向向右。
+X，x轴正半轴，向右
-X，x轴负半轴，向左
+y，y轴正半轴，向上
-y，y轴负半轴，向下
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有
对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、
一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P(x,y)
P越大开口越大
方程
图形
准线
焦点
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
准线
开口方向
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
（二）归纳：抛物线的几何性质
图 形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
通径
5、
2p越大，抛物线张口越大.
P越大,开口越开阔
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是 .
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 上，其中一个顶点为坐标
原点，则这个三角形的面积为 。
课堂练习：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+p/2
焦半径公式：
焦半径
6、
x
y
O
F
P
x0
p/2
焦半径及焦半径公式
抛物线上一点到焦点的距离
P(x0，y0)在y2=2px上，
P(x0，y0)在y2=-2px上,
P(x0，y0)在x2=2py上,
P(x0，y0)在x2=-2py上,
归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.
|AB|＝8
例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.
O
x
y
B
A
F
法1：解出交点坐标；计算弦长(运算量一般较大);
法2：设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法3：焦半径公式。
x
y
O
F
A
B
B’
A’
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
y2 = 4x
解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1
x
y
O
F
A
B
B’
A’
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
y2 = 4x
解法二:由题意可知,
焦点弦公式：
练习:
1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线的标准方程_________.
2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为
的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.

y2 = 8x
X=3
令y=0,得到焦点坐标
例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
例6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为( )
A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2
五、归纳总结
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率：
5、通径：
6、光学性质：
从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.