3.3.1双曲线及其标准方程-北师大版高中数学选修2-1课件（24张PPT）

3.3.1双曲线及其
标准方程
*
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
复习
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
*
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
*
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（1）2a<2c ；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
（2）2a >0 ；
双曲线定义
思考：
说明
| |MF1| - |MF2| | = 2a
*
讨论：定义当中条件2a<|F1F2 |=2c如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？
两条射线F1P、F2Q。
F2
F1
P
M
Q
M
无轨迹。
线段F1F2的垂直平分线。
|MF1|=|MF2|
F1
F2
M
o
F
2
F
1
M
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，
3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，
M点轨迹是双曲线
其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支.
M点轨迹是在直
线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
M点的轨迹是线段F1F2
的垂直平分线 。
结论：
5. M在右支上 |MF1|-|MF2| =2a
M在左支上 |MF1|-|MF2|= - 2a
*
迪拜双曲线建筑
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
生活中的双曲线
可口可乐的下半部
玉枕的形状
生活中的双曲线
生活中的双曲线
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式
|MF1| - |MF2|=±2a
4.化简
*
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
*
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢?
*
看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
问题
*
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
*
双曲线的标准方程：
椭圆的标准方程：
*
*
*
*
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A
和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根
据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2
的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M
的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
变式训练： 已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且
求顶点A的轨迹方程。
解：在△ABC中，|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为
例3:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.
解:
方程 表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
思考：
课堂练习
1、a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是
3、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到
(-5,0)的距离是 .
7或23
4、如果方程 表示双曲线，则m的取值范围
是 __________
2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标 准方程是
m | m>－1或m< －2
知识迁移 深化认知
(3)应用
(1)定义:
| |MF1|-|MF2| | =2a（0<2a<|F1F2|）
由方程定焦点：椭 圆看大小
双曲线看符号
知识迁移 深化认知