4.5.1函数的零点与方程的解（第一课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件

4.5.1
函数的零点与
方程的解
判别式
?=b2-4ac
?>0
??0
?<0
二次函数y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
的根
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴的交点
有两个不等的
实数根x1,x2
有两个相等实数根x1=x2
没有实数根
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
x
y
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.
结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是
推广到一般情形:
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实根
若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标;
若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点.
x0
(x0,0)
像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
函数的零点定义：
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
等价关系
对于一般函数y=f(x),
我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
函数的零点是点吗？
答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
零点的求法
代数法
图象法
由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x)
=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)
=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。
下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，
以及零点附近函数值的变化规律入手。
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
2.
用数形结合法探究
①在区间[-2,1]上有零点
;
f(-2)=
;f(1)=
;
f(-2)·f(1)
0。
-1
5
-
4
<
②在区间[2,4]上有零点
;
f(2)·f(4)
0。
3
<
对于二次函数，若在区间[a,b]上有f(a)?f(b)<0，则在区间(a,b)上有零点。
问题2：函数f(x)在区间[a,b]上f(a)f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上是否一定有零点？
0
y
x
x
y
0
函数f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0
此时，函数有几个零点？
0
y
x
函数零点存在定理
如果函数
y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有
f(a)
f(b)<0
，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点，即存在
c
∈
(a,b)，使得
f(c)
=0，这个c也就是方程
f(x)=0
的解。
思考：如果函数
y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间
(a,b)
内有零点，是否一定有f(a)
f(b)<0
？
x
y
0
这说明什么？
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)
f(b)<0”这两个条件是函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点的充分不必要条件。
思考：
如果函数
y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有
f(a)
f(b)<0
，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
这又说明什么？
函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。
例1
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解：当x趋于0时，f(x)趋于-∞，当x趋于+∞时，f(x)趋于+∞。由此可以判断f(x)必存在零点。由于y=lnx与y=2x都是(0,+∞)上的单调函数，因此只有一个零点。
分析：先说明它存在零点，再求零点的个数。
巩固深化
思路2：数形结合，利用图象直观发现结论
O
1
2
3
6
应用探究
例
证明函数f(x)=lnx+2x-6在(2,3)存在零点.
解：∵函数的定义域为(0,+∞)
，∴函数的图象在(2,3)内是连续不断的.
∵f(2)=ln2+2×2-6=
ln2-2=
ln2-
lne?<0
∵f(3)=ln3+2×3-6=
ln3>ln1=0
∴
f(2)·f(3)<0
∴函数f(x)=lnx+2x-6在(2,3)存在零点.
请同学们练习课本P144
1题
思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？
如果函数
y=f(x)
在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
函数零点存在定理的推论：
巩固练习
应用探究
例
已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
则函数f(x)有零点的区间个数至少是(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解：∵函数f(x)有零的图象是连续不断的，且
f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
∴函数f(x)在(2,3)、(3,4)、(4,5)存在零点.
C
原创
应用探究
例
若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)>0
，则函数在(a,b)上(
)
A.一定没有零点
B.至少有一个零点
C.只有一个零点
D.零点情况不确定
D
总结：函数零点存在定理中的条件缺一不可.
应用探究
例
函数f(x)
=
ex-1+4x-4的零点所在区间为(
)
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
B
分析一：同一系作y=
ex-1，y
=
-4x+4图象：
分析二：定义域R，图象连续不断，计算
f(-1)
=
e-2-4-4<0
f(1)
=
e0+4-4>0
f(2)
=
e1+8-4>0
f(3)
=
e2+12-4>0
f(0)
=
e-1-4<0
∴f(0)·f(1)<0
函数
y
=f
(x)
有零点
函数
y
=f
(x)
的图象与
x
轴有公共点
1、函数的零点与方程的解的关系：
方程
f
(x)=0
有实数解
2、判断在某个区间是否存在零点的方法
如果函数
y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有
f(a)
f(b)<0
，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点，即存在
c
∈
(a,b)，使得
f(c)
=0，这个c也就是方程
f(x)=0
的解。
函数零点存在定理
本节课同学们有什么收获和体会？
课堂小结