高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2椭圆的简单几何性质（55张PPT）

(共55张PPT)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
1、掌握椭圆的简单几何性质；
2、理解离心率对椭圆扁平程度的影响．
重点：椭圆的简单几何性质．
难点：1、求椭圆的离心率；
2、常结合几何图形、方程、不等式、平面向
量等内容命题．
教学目标：
1、椭圆的范围：
2、椭圆的对称性：
3、椭圆的顶点：
4、椭圆的几何形状→扁平程度
变量x，y的取值范围
方程的对称性
x=0或y=0时方程的解
a，b，c
椭圆的性质：
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
椭圆的几何性质：
一、新课引入：
o
x
y
说明：椭圆位于直线 和 所围成的矩形框里.
二、新课讲解：
1、椭圆的范围：
椭圆关于x轴对称；
椭圆关于y轴对称；
椭圆关于原点对称；
故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
o
x
y
二、新课讲解：
2、椭圆的对称性：
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点.
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
o
x
y
B1(0,-b)
B2(0,b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
二、新课讲解：
3、椭圆的顶点：
o
x
y
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率.
0e越接近1，椭圆越扁；
e越接近于0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
4、椭圆的离心率：
b→0，e→1，椭圆越扁；
b→a，e→0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
4、椭圆的离心率：
用a和b表示椭圆的离心率e
二、新课讲解：
.
.
o
x
y
5、通径：过椭圆的焦点作垂直于长轴的弦叫做通径.
A
B
通径：
半通径：
二、新课讲解：
6、焦点三角形：椭圆上一定与两焦点构成的三角形称为焦点三角形.
所以，焦点三角形面积公式是：
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 __________
____________ __________
____________
顶点 ___________________
___________________ ___________________
___________________
轴长 短轴长＝___，长轴长＝___
焦点 ___________________ ___________________
焦距 |F1F2|＝___
对称性 对称轴_________，对称中心______
离心率 e＝_________
－a≤x≤a
且－b≤y≤b
－b≤x≤b
且－a≤y≤a
A1(－a，0)、A2(a，0)
B1(0，－b)、B2(0，b)
A1(0，－a)、A2(0，a)
B1(－b，0)、B2(b，0)
2b
2a
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
2c
x轴和y轴
(0，0)
椭圆的性质：
通径、焦点三角形面积公式
1、椭圆几何性质的应用：
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．
(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．
点评：
2、椭圆的离心率对椭圆形状的影响：
例4、椭圆16x2+25y2=400的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ， 离心率为
______.
8
10
三、例题分析：
例5、P40
三、例题分析：
M
.
d
o
x
y
.
l
图2.2-12
圆锥曲线的第二定义
三、例题分析：
.
.
o
x
y
图2.2-13
l
m
m
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 __________
____________ __________
____________
顶点 ___________________
___________________ ___________________
___________________
轴长 短轴长＝___，长轴长＝___
焦点 ___________________ ___________________
焦距 |F1F2|＝___
对称性 对称轴_________，对称中心______
离心率 e＝_________
－a≤x≤a
且－b≤y≤b
－b≤x≤b
且－a≤y≤a
A1(－a，0)、A2(a，0)
B1(0，－b)、B2(0，b)
A1(0，－a)、A2(0，a)
B1(－b，0)、B2(b，0)
2b
2a
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
2c
x轴和y轴
(0，0)
四、小结：
通径、焦点三角形面积公式
五、作业：
课堂练习：P41 练习：1、2、3、4、
课外作业：P42习题2.1
A组 3、4、5、6、7、8、9
B组 2、3
题型一　由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1、求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
分析： 先将椭圆方程化为标准形式，再利用a、b、c之间的关系求解．
规律方法：解决此类问题的方法是将所给方程先化
为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪
个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求
椭圆的基本量．
变式1、求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
分析：解答本题可先
由已知信息判断焦点
所在坐标轴并设出标
准方程，再利用待定
系数法求参数a，b，c.
题型二　由椭圆的几何性质求标准方程
例2、
题型二　由椭圆的几何性质求标准方程
例2、
题型二　由椭圆的几何性质求标准方程
例2、
规律方法：利用性质求椭圆的标准方程，通常
采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确
定其标准方程的形式并列出关于参数的关系
式，利用解方程(组)求解，同时注意a、b、
c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论．
变式2、
变式2、
例3、(12分)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
题型三　求椭圆的离心率
∽
(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分
利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定
理、全等三角形、相似三角形等知识．
变式3、
例4、已知在椭圆中，长轴长为2a，焦距为2c，且a＋c＝10，a－c＝4，求椭圆的标准方程．
题型四 分类讨论的思想
分析：由于题目中没有告诉我们焦点的位置，所求标准方程有两种情况：
①焦点在x轴上；
②焦点在y轴上．
规律方法：(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；
②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
(2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论．
(3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
分析：（1）焦点在x轴上;（2）焦点在y轴上.
练习:椭圆离心率的问题
2、求下列适合条件的椭圆的离心率.
(2)若 的左焦点F1到直线AB
(A(-a，0)，B(0，b))的距离为 .
练习:
(1)椭圆的一个焦点将长轴分成3:2两段；
3、设椭圆 的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围.
练习:椭圆离心率的问题
练习:椭圆离心率的问题
练习：5、已知
的长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120°，求离心率e的取值范围.
思考：F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率.
o
x
y
.
.
P
Q
o
x
y
.
.
P
Q
小结：（椭圆的几何性质）
1、椭圆的范围；
2、椭圆的对称性；
3、椭圆的顶点；
4、椭圆的几何形状；
5、椭圆的第二定义.
M
.
d
o
x
y
.
l
圆锥曲线的第二定义：
M
.
d
圆锥曲线的第二定义：
o
x
y
.
l
焦半径公式
焦点弦
长公式
焦半径：椭圆上的点与焦点两点间距离，称为焦半径.
焦点弦长公式：过焦点的弦叫做焦点弦.
方程：
1
o
F
y
x
2
F
P
y
o
x
图形
小结：
1
o
F
y
x
2
F
P
标准方程
图形
y
o
x
准线方程
焦半径公式
焦点弦
长公式
o
x
y
.
B
A
l
M