高中数学人教A版必修1第一章1.3.1 函数的单调性课件（12张PPT）

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画出下列函数的图象：
（1）y = x 2 （2） y = x 3 （3）y =
y
x
o
y
x
o
y
x
o
由图看出图象有何变化特征？
x 2
x 1
x 1
x 2
(1) 在 (－∞ , 0 ) 上，函数值随自变量增大而减小；
(2) 在 R 上，函数值随自变量增大而增大。
当 x 1、x 2 ∈ (－∞ , 0 ) 且 x 1＜ x 2 时，都有f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )
当 x 1、x 2 ∈R 且 x 1＜ x 2 时，都有f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )
⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数y=f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，
⑴若当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2),则说在这个区间上是增函数；
⑵若当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2),则说在这个区间上是减函数.
a
b
O
x
y
y = f (x)
x2
x1
f(x1)
f(x2)
y = f (x)
x2
x1
f(x1)
f(x2)
O
x
y
a
b
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
3）都有 f ( x 1 ) = f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上无增减性。
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
G = ( a , b )
（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，
它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。
（3）单调区间：针对自变量 x 而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增
区间；若函数在此区间上是减函数，则为单
调递减区间
1、证明：函数 f ( x ) = － + 1 在 ( 0 , + ∞ )
上是增函数。
证：设 0 ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ + ∞
则 f ( x 1 ) －f ( x 2 )
∵ 0 ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ + ∞
∴ x 1 －x 2 ＜ 0
即 f ( x 1 ) －f ( x 2 ) ＜ 0
∴ f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )
故 此函数在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数。
①
②
③
2、判断函数 f ( x ) = 在区间 (－1 , 1 ) 上的单调性。
解：设 －1 ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ 1
则 f ( x 1 ) －f ( x 2 )
∵ －1 ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ 1
∴ 1 + x 1x 2 ＞ 0，x 2 －x 1 ＞0
∴ f ( x 2 ) －f ( x 1 ) ＞0
即 f ( x 2 ) ＞ f ( x 1 )
故此函数在 (－1 , 1 ) 上是增函数
3、求函数 y = 2x 2 －4x + 1 的单调区间
4、写出图中函数的单调区间
x
y
o
1
－5
4
解：由题 y = 2( x －1 ) 2 －1
y
x
o
1
1
－1
由图知：单调递增区间为 [ 1 , + ∞)
单调递减区间为 (－ ∞ , 1 ]
解：由图知：
单调递增区间为
[－5 , 1 ] ，[ 4 , + ∞)
单调递减区间为
(－ ∞ , －5 ]，[ 1 , 4 ]
单调区间之间用逗号分开
1、单调性是针对某个区间而言的，是个局部概念。
2、单调性的证明步骤：
1）取量定大小；
2）作差定符号；
3）判断定结论。
3、单调区间的求法：
1）通常用图象直接写出；
2）利用单调性证明后得出。
设 x 1、x 2 ∈给定区间， 且 x 1＜ x 2
f(x 1)－f(x 2)的结果化积或化完全平方
式的和；
判断f(x 1) 与 f(x 2) 的大小 ，下结论，
结论一定要指出在那个区间上。
针对 x 而言的
1. 判断函数 f (x) = x2+1在
(0, ＋∞)上是增函数还是减函数?
2. 若函数f (x) 在区间[a, b]及
(b, c]上都单调递减, 则f (x)在区间
[a, c]上的单调性为 ( )
A. 单调递减;
B. 单调递增;
C. 一定不单调;
D. 不确定.
D
练习实践
3. 函数f (x)=
2x+1, (x≥1)
5 － x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( )
A. [1, ＋∞)
B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞)
D. (－∞, 1]
B
4. 若函数f (x) 在区间[a, b]单调
且 f(a) f(b)＜0, 则方程f(x)=0在区
.
间[a, b]上( ).
A.至少有一实根;
B.至多有一实根;
C.没有一实根;
D.必有唯一实根.
D