高中数学人教A版必修3第二章 统计2.2 用样本估计总体 课件（24张PPT）

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
—— 众数、中位数、平均数
复习回顾：
一.用样本估计总体分布
频率分布直方图
茎叶图
频率分布折线图
总体密度曲线
方法
二.作样本频率分布直方图的步骤：
2、决定组距与组数
3、 将数据分组
4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)
1、求极差
5、画出频率分布直方图.
复习回顾：
探究新课：
什么是样本的数字特征？
众数
中位数
平均数等
这些数据都是反映样本信息的数字特征，对一组样本数据如何求众数、中位数和平均数？
估计
总体的数字特征
一.众数、中位数、平均数的概念
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最 中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做 这组数据的众数．
平均数: 一组数据的算术平均数,即:

（1） 1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9
众数是：3和8
（2） 1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9
众数是：3
1、求下列各组数据的众数
若有两个或两个以上的数据出现得最多，且最多的次数一样，则这些数据都叫众数；
若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数.
2、求下列各组数据的中位数
（1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9
（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9
中位数是：5
中位数是：4
二.从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数.
在上一节抽样调查的100位居民的月均用水量的数据中，我们来求一下这一组样本数据的
众数、中位数和平均数
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
众数=2.3（t）中位数=2.0（t）平均数=2.0（t）
那么，观察这组数据的频率分布直方图，能否得出这组数据的众数、中位数和平均数？
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
频率
组距
0.5
2.5
2
1.5
1
4
3.5
3
4.5
频率
组距
2.25
如何利用频率分布直方图求众数:
众数在样本数据的频率分布直方图中，
就是:最高矩形的中点的横坐标。
0.5
2.5
2
1.5
1
4
3.5
3
4.5
频率
组距
0.04
0.08
0.15
0.22
0.25
0.14
0.06
0.04
0.02
如何利用频率分布直方图求中位数:
提示：中位数左边的数据个数与右边的数据个数是相等的。
左右频率相等
左右面积相等
0.5
2.5
2
1.5
1
4
3.5
3
4.5
频率
组距
0.04
0.08
0.15
0.22
0.25
0.14
0.06
0.04
0.02
前四个小矩形的面积和=0.49
后四个小矩形的面积和=0.26
2.02
x
则一小部分的频率为0.5x,
所以：0.5x=0.01
解得：x=0.02
中位数
如何在频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
由频率分布直方图可知，在[ 0 , 0.5)中，有4个数据，怎么估计这四个数据的和呢？
分组
[0, 0.5)
[0.5, 1)
[1, 1.5)
[1.5, 2)
[2, 2.5)
[2.5, 3)
[3, 3.5)
[3.5, 4)
[4, 4.5]
合计
频率
0.04
0.08
0.15
0.22
0.25
0.14
0.06
0.04
0.02
1
，
)
总结：众数，中位数，平均数的估计值
众数：频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
中位数：使频率分布直方图左右两边相等面积的分界线与 x 轴交点的横坐标。
平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
思考：从居民月均用水量样本数据和频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗？
众数
中位数
平均数
样本数据
2.3
2.0
1.973
频率分布直方图
2.25
2.02
2.02
答：因为样本数据的频率分布直方图，只是直观地表明分布的形状，但是从直方图本身看不出原始的数据内容，直方图已经损失一些样本信息。且所得估计值与数据分组有关.
所以由频率分布直方图得到的估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
1、三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
思考讨论：
3、平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，而且越极端，对平均数的影响就越大。当样本数据质量较差时，用平均数来估计，可靠性不高，可能会与实际情况产生较大的误差。
例：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数．
(2)高一参赛学生的平均成绩．
例题讲解
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为
55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67.
x
解：(1)由图可知众数为65，
从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数．
(2)这50名学生的平均成绩．
课堂练习
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.
将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10
＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7.
（2）平均成绩为
45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74，
综上，(1)众数是75，中位数约为76.7；(2)平均成绩均为74.
1、众数、中位数与平均数的概念
2、在频率分布直方图中计算众数，中位数及平均数
课堂小结
课后作业
导学案1、2、3