高中数学选修1-1人教A版：2.1.2椭圆的简单几何性质（29张PPT）

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
特别注意:
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
F1 0 F2 X
Y
M
1.椭圆的定义
一.复习
焦点跟着大数走
标准方程
图 形
焦点坐标
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
o
y
x
二.椭圆的简单几何性质
观图，你看到了什么？
1.范围
x
o
y
从图：椭圆位于直线
X=±a和y=±b所围成的矩形之中。
令 x=0，得 y=？椭圆与 y轴的交点（ ， ）
令 y=0，得 x=？椭圆与 x轴的交点（ ， ）
0 　±b
±a 0
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
2.顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
︱ ︱
F1 F2
3.对称性
从图：
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心
椭圆关于（x）轴对称；
椭圆关于（y）轴对称；
椭圆关于(原点)点对称；
中心：椭圆的对称中心
叫做椭圆的中心
o
x
y
4.离心率
o
x
y
椭圆的焦距与长轴长的比：
(1)离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以0(2)离心率对椭圆形状的影响：
1) e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁;
2) e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆;
3) 特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方
程变为（？）
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程
消元得到二元一次方程组
(1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点；
(2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点；
(3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点．
通法
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
由方程组：
<0
方程组无解
相离
无交点
=0
方程组有一解
相切
一个交点
>0
相交
方程组有两解
两个交点
代数方法
= n2-4mp
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程
消元得到二元一次方程组
(1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点；
(2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点；
(3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点．
通法
1直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( )
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
D
1直线与椭圆的位置关系
o
x
y
1直线与椭圆的位置关系
o
x
y
思考：最大的距离是多少？
1直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
x2+4y2=2
解：联立方程组
消去y
?>0
因为
所以，方程（１）有两个根，
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
则原方程组有两组解….
----- (1)
由韦达定理
1直线与椭圆的位置关系
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
2弦长公式
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点，
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
2弦长公式
解：
3.若P(x,y)满足 ,求 的
最大值、最小值.
例 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被

平分，求此弦所在直线的方程.
解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
弦中点问题
例 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造
出中点坐标和斜率．
点
作差
弦中点问题
例：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
弦中点问题
练习：
1、如果椭圆被 的弦被（4，2）平分，那
么这弦所在直线方程为（ ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m的范围（ ）
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ ,
D
C
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：
弦长公式：
|AB|=

= （适用于任何曲线）
小 结
3、弦中点问题的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；
（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：
弦长公式：
|AB|=

= （适用于任何曲线）
小 结
变式、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
y
F
F’
l
I’
x
o
P={M| }
由此得
将上式两边平方，并化简，得
设 a2-c2=b2,就可化成
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b 的椭圆
M
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
变式、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
y
F
F’
l
I’
x
o
P={M| }
由此得
将上式两边平方，并化简，得
设 a2-c2=b2,就可化成
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b 的椭圆
M
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
设P(x0,y0)是椭圆 上的一点,F1(c,0), F2(c,0)分别是椭圆的左焦点、右焦点,我们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径.
该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之间，
如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”号连接．
　焦半径公式
①焦点在x轴上时：
│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；
②焦点在y轴上时：
　　 │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
1、椭圆 上一点到准线 与到焦点（-2，0）的距离的比是 （ ）
B