高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件（33张PPT）

双曲线的标准方程及其性质
1.椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹。
平面内与两定点F1、F2的距离的
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
温故知新
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——双曲线的焦距.
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
思考：定义中的2a有何限制？为什么？
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线的定义
概念加强
1.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离
之差为3，则点P轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
B
2.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离
之差的绝对值为4，则点P轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
c
双曲线
双曲线的右支
x轴上分别以F1和F2为端点，
指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
椭圆
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
答：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上。
思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
| |MF1| - |MF2| | = 2a
双曲线的标准方程
思考一下
题型一：双曲线的定义与方程
A
写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
1. 焦点为(0, -6)、(0, 6)，且经过点(2, 5)；
2. a=4，过点(1, )
3. 经过点
题型二：双曲线标准方程的求法
求椭圆和双曲线标准方程的一般方法：
几何定义法
待定系数法
统一方程法
题型三：焦点三角形
A
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积：
2、对称性
研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
双曲线的性质
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长。
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
（3）
双曲线的性质
M(x,y)
双曲线的渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近，但永远不能达到。
x
y
o
a
b
双曲线在第一象限部分的方程为：
（1）
（2）
利用渐近线可以较准确的
画出双曲线的草图
（3）
双曲线的渐近线
焦点在x轴上的双曲线的标准方程为：
我们把方程右端的1变为0，则有：
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：
我们把方程右端的1变为0，则有：
焦点在y轴上的双曲线的渐近线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
共渐近线的双曲线方程
与 有相同渐近线的双曲线方程我们可以假设为：
其中：
为什么可以这样做？
求与 有相同渐近线，且过点 的双曲线方程。
跟踪检测
解：
双曲线与 有相同的渐近线，则可设其方程为：
所以
解得
于是所求双曲线的方程为：
解：
椭圆的焦点在x轴上，且坐标为

双曲线的渐近线方程为

解得：


求与椭圆 有相同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
跟踪检测
由题意得双曲线的渐近线方程为 ，且其焦点在x轴上，则可设其方程为：
即：
所以：
解得：
于是，所求双曲线的标准方程为：
共轭双曲线
共轭双曲线：1概念
2渐近线
3焦距
41的
1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线
的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角
为_________。
跟踪检测
双曲线离心率的求法
（1）根据条件得到关于a,b,c的方程表达式。
（2）将b转化为a,c。（常两边平方）
（4）得到离心率。
（3）求出a,c之间的关系。（构造 ）
求离心率的一般思路：
直线与双曲线的位置关系
思考：直线与双曲线可能有几个公共点？
两个：
一个：
零个：
相交
与一支相切
相交且与渐近线平行
不相交不相切
直线与双曲线的位置关系
双曲线 与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值。
变式演练
若过双曲线 的右焦点F2作直线与双曲线的两支都相交，求直线l的倾斜角的取值范围。
变式演练
已知直线y=kx+2与双曲线 的右支交于不同的两点，求k的取值范围。
焦点弦与通径
中点弦与弦长公式
B
渐近线的意义
双曲线离心率的求法
双曲线 的半焦距为c，直线l过点 ，原点到直线l的距离为 ，求双曲线的离心率。