高中数学选修2-1人教A版：2.4.1抛物线及其标准方程课件（51张PPT）

复习回顾：
我们知道,椭圆和双曲线有共同的几何特征：
都可以看作是:在平面内与一个定点的距离和一条
定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
椭圆
(2) 当e＞1时
(1)当0(其中定点不在定直线上)
l
F
·
M
双曲线
那么,当e=1时，它又是什么曲线呢？
·
F
M
l
·
（3）e=1
一、抛物线的定义:
M
·
F
l
·
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
准线
焦点
直线l 叫抛物线的准线
d
求曲线方程的基本步骤：
建系
设点
列式
化简
l
以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F、K的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xoy.
化简得：
x
K
y
o
M(x,y)
二、标准方程的推导
由抛物线的定义得：
F
H
p
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离
三、抛物线的标准方程
把方程 y 2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
x
y
o
d
p
F
l
·
M
p: 焦点到准线的距离
焦点坐标:
准线方程:
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？

思考：
﹒
y
x
o
(1)
﹒
y
x
o
(2)
﹒
y
x
o
(3)
﹒
y
x
o
(4)
【四种形式抛物线的对比】
图 形
y
x
o
F
l
y
x
o
F
l
y
x
o
F
l
y
x
o
F
l
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
焦点坐标
准线方程
标准方程
P：
焦点到准线的距离

抛物线标准方程的特征：
等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项.
小结：
（1）一次项定轴，系数正负定方向；
（2）焦点与方程同号，准线与方程异号.
练习1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
（5，0）
x=-5
（0，—）
1
8
y= - —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
例1. 已知抛物线的标准方程是 y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程;
【题后反思】：
求抛物线的焦点坐标或准
线方程，先把抛物线方程
化为标准方程。
例2 .已知抛物线的焦点是 F(0,-2), 求它的标准方程.
练习2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点F（3，0）
（2）准线方程是
（3）焦点到准线的距离是2
【题后反思】：
求抛物线的标准方程，
一般先定位，再定量。
例3 .（1）求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.
（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）
到焦点的距离为5．
例3 .（1）求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.

解∵抛物线过点（-3，2），
∴当焦点在x轴时，设其标准方程为： y2 =-2px（p＞0）
把点A（3,2）代入方程 ，解得p= ，
∴其标准方程为
当焦点在y轴时，设其标准方程为： x2 =2py（p＞0），
同理可得，p= ，其标准方程为
综上所述，过点（-3，2）的抛物线的标准方程为：
或
例3 .（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）
到焦点的距离为5．
解：设该抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），
则其准线方程为： ，
∵抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5，
∴由抛物线的定义知，3-（ ）=5，解得p=4，
∴抛物线的标准方程为y2=8x．
思考题、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是


————————————
X0 + —
2
p
O
y
x
．
F
M
．
四、点与抛物线的位置关系
.
y
x
o
F
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程
2，涉及抛物线的最值问题
1、通径：
通过焦点且垂直对称轴的直线，
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。
x
O
y
F
P
通径的长度：2P
2、焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
通过焦点的直线，与抛物
线相交于两点，连接这两点的
线段叫做抛物线的焦点弦。
x
O
y
F
A
3.焦点弦：
B
范围
1、
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
y
F
x
O
l
对称性
2、
关于x轴
对称
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
则 (-y)2 = 2px
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
y
F
x
O
l
顶点
3、
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
y
F
x
O
l
离心率
4、
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
y
F
x
O
l
图 形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
通径
5、
2p越大，抛物线张口越大.
拓展
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+
焦半径公式：
焦半径
6、
x
y
O
F
P
通过焦点的直线，与抛物
线相交于两点，连接这两点的
线段叫做抛物线的焦点弦。
x
O
y
F
A
焦点弦公式：
B
焦点弦
7、
焦点弦的性质
1、抛物线的焦点弦AB的长是否存在最小值？若存在，其最小值为多少？
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛物线的通径，其长度为2p．
O
x
y
B
A
F
2、A、B两点的坐标是否存在相关关系？若存在，其坐标之间的关系如何？
O
x
y
B
A
F
3、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可作哪些变形？|AF|与|BF|之间存在什么内在联系？
O
x
y
B
A
F
4、AB长度公式
解法1 F1(1 , 0),
解法2 F1(1 , 0),
解法3 F1(1 , 0),
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
A
B
F
A1
B1
解法4
A
B
F
A1
B1
H
同理

O
x
y
B
A
F
5、由焦点弦长公式
以AB为直径的圆与
抛物线的准线相切.
6、过点A、B作准线的垂线，垂足分别为C、D，则△ACF和△BDF都是等腰三角形，那么∠CFD的大小如何？
90°
.
F
A
B
D
C
即以 为直径的圆与
AB相切于F.
7、过点A、B作准线的垂线，垂足分别为C、D，A、O、D三点共线吗？
C
D
O
x
y
B
A
F
8、若直线AO交准线于D，DB与X轴平行吗？
D
O
x
y
B
A
F
9、设点M为抛物线准线与x轴的交点，
则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？
相等
O
x
y
B
A
F
M
A1
B1
O
A
A1
B1
O
A
A1
B1
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，焦点弦AB具有如下性质.
形成结论
O
B
A
F
C
x
y
D
M
⒈过抛物线 的焦点作直线交抛物线于
两点．若 ，则|AB|= ___________
⒉过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦，则此弦长
为________；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜
角为 _________．
⒊过抛物线 的对称轴上有一点M (p, 0)，
作一条直线与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为
，则B点纵坐标为 ________
8
24
4p
例1 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛物线的对称轴.
O
B
A
F
C
x
y
例题讲解
O
B
A
F
C
x
y
例题讲解
例题讲解
O
B
A
x
y
O
B
A
x
y
例题讲解
例题讲解
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物线的几何性质，可作为一个研究性学习课题，其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助.
2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.