高中数学选修2-1人教A版：2.4.2抛物线的简单几何性质课件（32张PPT）

一、复习回顾：
.
F
M
.
－－抛物线标准方程
1、抛物线的定义：
标准方程
图 形
焦 点
准 线
x
y
o
F
.
.
x
y
F
o
.
y
x
o
F
.
x
o
y
F
2、抛物线的标准方程：
3、椭圆和双曲线的性质：
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点
类比探索
x≥0,y∈R
关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
抛物线和它的轴的交点.（0,0）
二、讲授新课：
.
y
x
o
F
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
x
O
y
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
通径长为2p
通过焦点的直线，与抛物
线相交于两点，连接这两点的
线段叫做抛物线的焦点弦。
x
O
y
F
A
焦点弦：
焦点弦公式：
B
思考：焦点弦何时最短？
过焦点的所有弦中，通径最短
方程
图
形
范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦的长度

y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
y≤0
x∈R
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的e=1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .
三、典例精析
解法1 F1(1 , 0),
解法2 F1(1 , 0),
解法3
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
A
B
F
A1
B1
√
解法4
一、复习回顾：
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：
1、根据几何图形判断的直接判断
2、直线与圆锥曲线的公共点的个数
Ax+By+c=0
f(x,y)=0(二次方程)
解的个数
形
数
判断直线与双曲线位置关系的步骤：
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
F
x
y
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
二、讲授新课：
判断直线与抛物线位置关系的步骤：
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
总结：
-1或
几何画板演示
判断直线与抛物线位置关系的操作程序：
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
总结：
1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有( ）
（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条
C
.
P
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线
只有一个公共点的直线的方程.
由{ 得 {
故直线 x=0与抛物线只有一个交点.
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.
当 k=0时，x= ,y=1. 故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
由方程组 { 消去 y 得
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是
y=kx+1,
x
y
O
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
此时直线方程为
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或
2.
四、点与抛物线
点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及判断方法.
1.点在抛物线外
2.点在抛物线上
3.点在抛物线内
y02-2px0>0
y02-2px0=0
y02-2px0<0
五、抛物线的焦点弦常见结论
已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p
(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
x
O
y
A
B
F
θ
4. 在抛物线 上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.
解：设P(x,y)为抛物线 上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离
此时 y=1，所求点的
坐标为P(1,1).
当且仅当 x=1 时， ，
法二: 观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点
即为所求.
联立 得
设切线方程为 2x-y+C=0，
由 得 C=-1
又由（ ）得 x=1，∴y=1.
故所求点的坐标是（1，1）.
点评：此处用到了数形结合的方法.
2x-y-4=0
x
y
O
p
5. 在抛物线 上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.