人教A版高二数学选修1-1教学课件：3.1.1变化率问题（23张PPT）

问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?
思考：这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况如何呢？
我们来分析一下：
气球的体积Ｖ（单位：Ｌ）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积Ｖ的函数，
那么
3
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
显然0.62>0.16
(1)怎样来理解气球的半径增加得越来越慢呢？
(2)一般的，当空气容量从V1增加到V2时，气 球的平均膨胀率是多少?
随着气球体积的增大，当体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小．
思考：
从数学角度进行描述：
随着体积的增大，比值　　　　　　越来越小
半径的增加量
体积的增加量
法国《队报》网站的文章
称：刘翔以不可思议的速
度统治了赛场．当时这名
21岁的中国人跑的几乎比
炮弹还快，……，他的平
均速度达到8.52m/s
平均速度的数学意义是什么呢？
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=－4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
平均速度是反映运动员在某段时间里
位移的平均变化率．
t
h
O
h(t)=－4.9t2+6.5t+10.
探究:
　 在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
思考下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态
　有什么问题吗？
计算运动员在　　　　　这段时间里
的平均速度
t
h
O
问题３ 气温“陡增”
某市2010年6月3日最高气温33.4 ℃,而此前的两天，6月2日和6月1日最高气温分别为24.4 ℃和18.6 ℃ ，短短两天时间，气温“陡增”14.8 ℃ ，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了”.
结合下面图形，分析气温“陡增”的数学意义
20
30
34
2
10
20
30
A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
0
C (34, 33.4)
2
10
T (℃ )
t(d)
日期的改变量：
温度的改变量：
平均每天温度
的改变量：
Ａ→Ｂ
△x=32-1=31
△y=15.1
△y
△x
15.1
31
=
≈0.487
B→C
△x=34-32=2
△y=14.8
△y
△x
14.8
2
=
≈7.4
类似的这样的案例很多，如
11:15
11:25
2007年9月25日沪市A股走势图
5390
5396
5460
上证指数
5510
时间相差180分钟
A
B
时间相差180分钟
时间
x年
y元/m2
(13,11000)
12
12
(2006)
1
(1995)
11,
13
(2007)
11
(2005)
房价问题
总结：它们都反映的是函数的平均变化率问题
类似的这样的案例很多，如
平均变化率定义:
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
平均变化率定义:
理解：平均变化率
１.式子中△x、△y的值可正、可负，但△x值
不能为０， △y可为0
２.若函数f(x)为常数函数时， △y＝0
３.分子与分母是对应的
也就是说，函数值的变化量，是在自变量的
变化量上产生的．
求平均变化率的步骤
1.求自变量的增量△x＝x2-x1
2.求函数的增量△y＝f(x2)-f(x1)
或△y＝f(x1＋ △x)-f(x1)
3.
思 考
直线AB的斜率
例1.甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月
时间挣到2万元，如何比较和评价甲乙两
人的经营成果？
解：我们可以比较他们在相同的单位时间
　　上的平均变化率．
P甲
＝
10
5x12
＝
5
30
P乙
＝
2
5
＝
12
30
可见乙的经营成果好
知识迁移
例2.求y=x2在[x0,x0+△x]上的平均变化率
解：
△y=(x0+△x)2-(x0)2
=2x0△x+ △x2
=2x0＋△x
2x0△x+ △x2
△x
y =
知识迁移
1已知函数y=-x2+x的图象上的一点
Ａ(-1,-2)及临近一点Ｂ(-1+△x,-2+△y]
则
△y
△x
=( )
A 3
B 3△x-(△x)2
C 3 -(△x)2
D 3 -△x
2已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x分别计算在
下列区间上f(x)与g(x)的平均变化率
(1)[-3,-1]
(2)[0,5]
D
(1)2,-2
(2)2,-2
巩固练习
(1).求函数的增量△y＝f(x2)-f(x1)
1．函数平均变化率
2．求函数平均变化率的步骤
(2).计算平均变化率
总 结
3．函数平均变化率的几何意义