人教A版高中数学必修四2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件（21张PPT）

(1)理解和掌握向量数量积的定义;
(2)掌握向量数量积的重要性质;
(3)理解向量数量积的几何意义;
(4)掌握向量数量积的运算律
问题1． 某人拉车，沿着绳子方向上的力为 ，
车的位移为 ，
力和位移的夹角为 ，力所做的
功为多少？
问题2．决定功的大小的量有哪几个？
定义 已知两个非零向量 与 ，我们把数量
叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 ，
其中 是 与 的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
问题3．决定向量数量积的大小的量有哪几个？
数量积的正、负、零由谁决定？
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
A
C
B
2．已知正三角形ABC的边长为1，求：
（1） ;
（2） ;
（3） .
口答
(1) ；
(2)若 与 同向，则 ；
若 与 反向，则 ；
特别地， ，

3．依据数量积定义完成以下问题( 与 是非零向量)
(4) .
≤
(3)
　　　　　　　　　；
判定两向量垂直
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,以
及判断三角形的形状.
平面向量数量积的性质 ( 与 是非零向量)
B
B1
叫做 在 方向上的投影；
叫做 在 方向上的投影；
平面向量数量积的几何意义
数量积 等于 的长度 与 在 上的投
影 的乘积．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
探究：数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？
实数乘法
交换律
结合律
分配律
向量的数量积
运算律
　
　
　
　
　
　
平面向量数量积的运算律
交换律
结合律
分配律

(a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
O
N
M
a+b
b
a
c
向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 则
证明分配律：
1．若a=0，则对任一向量b ，有a · b=0
2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a · b≠0
3.若a≠0，a · b=0,则b=0
4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0
5.若b≠0，a · b= b · c,则a=c
6.若a · b= a · c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立
7对任一向量a,有a2=|a|2
练习：判断正误
( √ ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( √ ）
例1．证明（1） ；
（2） .
证明:（1）
（2）
例2．已知 ， ， 与 的夹角为 ，
求 .
解：
例3 已知︱ ︱＝3，︱ ︱＝4，且 与 不共线.求

当k为何值时，向量 ＋k 与 －k 互相垂直？
1.在△ABC中, =a , =b ,a·b<0 ,则△ABC
是_____三角形
BA
BC
2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为
则 a在е方向上的投影是_____
2π
3
3.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（ ）
（A）数量
（B）与a共线的向量
(C) 与c共线的向量
(D)无意义
钝角
–2
C
今天你学到了什么?